试卷内容
1. 已知函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ 在 $ x = 1 $ 处取得极值，且 $ f'(1) = 0 $，求实数 $ a $ 的取值范围。
解析：首先对函数求导，得到 $ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b $，代入 $ x = 1 $ 得到 $ f'(1) = 3 + 2a + b = 0 $。结合极值条件，进一步分析 $ a $ 的可能范围。
2. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求第 $ n $ 项的通项公式。
解析：等差数列通项公式为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，代入数据可得 $ a_n = 2 + 3(n - 1) $。
3. 已知三棱锥 $ ABCD $ 中，底面 $ ABC $ 是正三角形，边长为 2，点 $ D $ 在底面的投影是 $ ABC $ 的中心，且 $ AD = 3 $，求三棱锥的体积。
解析：利用正三角形面积公式计算底面积，再用高度和体积公式 $ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{底}} \times h $ 计算体积。
4. 设 $ f(x) = \ln(x + 1) $，求 $ f'(x) $ 和 $ f''(x) $。
解析：对 $ f(x) $ 求导即可，注意对复合函数的处理。
5. 已知 $ \int_0^1 (x^2 + 1) dx $，求该积分的值。
解析：直接积分，结果为 $ \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $。