一、有理数的基本概念
有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零、正分数、负分数。换句话说，任何可以表示为两个整数之比（即 $ \frac{a}{b} $，其中 $ b \neq 0 $）的数都是有理数。
二、有理数的分类
有理数可以根据其性质分为以下几类：
1. 整数
整数包括正整数、负整数和零。例如：1, 2, -3, 0 等。
2. 分数
分数是指形如 $ \frac{a}{b} $ 的数，其中 $ a $ 和 $ b $ 是整数，且 $ b \neq 0 $。分数又可分为正分数和负分数。
3. 正有理数
大于零的有理数称为正有理数，如 $ \frac{1}{2}, 3, 0.5 $ 等。
4. 负有理数
小于零的有理数称为负有理数，如 $ -\frac{1}{2}, -3, -0.5 $ 等。
5. 零
零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。
三、有理数的运算规则
有理数的加减乘除遵循一定的规则，例如：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值大的符号；乘法时，同号得正，异号得负。
四、常见问题与解答
Q1：什么是无理数？
A：无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如圆周率 π 和根号 2 等。
Q2：0 是有理数吗？
A：是的，0 可以表示为 $ \frac{0}{1} $，因此它是有理数。
Q3：如何判断一个数是否是有理数？
A：如果一个数可以写成两个整数之比的形式，并且分母不为零，则它就是有理数。
Q4：有理数和实数的关系是什么？
A：有理数是实数的一部分，实数包括有理数和无理数。
五、练习题
1. 下列哪些是正有理数？
选项：$ \frac{1}{2}, -3, 0, 2.5, -\frac{3}{4} $
答案：$ \frac{1}{2}, 2.5 $
2. 将下列数归类到整数或分数中：
选项：10, -5, $ \frac{2}{3} $, 0.75, -1.5
答案：整数：10, -5；分数：$ \frac{2}{3} $, 0.75, -1.5
3. 判断下列数是否是有理数：
选项：π, 0.333..., 2.5, √2
答案：有理数：0.333..., 2.5；无理数：π, √2
4. 计算：$ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} $
答案：$ \frac{5}{6} $
5. 计算：$ -\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} $
答案：$ -\frac{1}{2} $