欢迎来到“初三数学奥林匹克竞赛题”专题页面！这里精选了多套适合初三学生的奥数真题，内容涵盖代数、几何、数论等多个领域，帮助你提升思维能力，备战各类竞赛。无论你是想巩固知识，还是挑战自我，这些题目都能为你提供良好的训练平台。
1.
已知方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为 $ \alpha $ 和 $ \beta $，且 $ \alpha + \beta = 5 $，$ \alpha \beta = 6 $，求 $ b $ 和 $ c $ 的值。
解：根据韦达定理，$ b = -(\alpha + \beta) = -5 $，$ c = \alpha \beta = 6 $。
2.
一个等腰三角形的底角是 $ 50^\circ $，求它的顶角和底边上的高所形成的角。
解：等腰三角形的两个底角相等，所以顶角为 $ 180^\circ - 2 \times 50^\circ = 80^\circ $。底边上的高将顶角分为两个相等的部分，因此所形成的角为 $ 40^\circ $。
3.
设 $ a $、$ b $、$ c $ 是正整数，满足 $ a + b + c = 12 $，求 $ abc $ 的最大值。
解：当三个数尽可能接近时，乘积最大。因此，$ a = 4 $，$ b = 4 $，$ c = 4 $，此时 $ abc = 64 $。
4.
若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，且 $ a + c = 10 $，$ b + d = 12 $，求 $ a $ 和 $ c $ 的值。
解：由比例关系得 $ ad = bc $，联立 $ a + c = 10 $ 和 $ b + d = 12 $，可得 $ a = 5 $，$ c = 5 $。
5.
一个圆的半径为 $ r $，求其内接正六边形的面积。
解：正六边形可以分成六个等边三角形，每个三角形的边长为 $ r $，面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 $，总面积为 $ \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 $。