等差数列求和公式推导
等差数列是数学中非常重要的一个概念，它在数列、级数以及实际问题中都有广泛的应用。等差数列的求和公式是解决这类问题的关键工具之一。
等差数列是指每一项与前一项的差是一个常数的数列。例如：1, 3, 5, 7, 9……这是一个等差数列，公差为2。
等差数列的定义
设等差数列为 $ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，那么第 $ n $ 项可以表示为：
$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
等差数列求和公式推导
我们来推导等差数列前 $ n $ 项的和 $ S_n $。假设数列有 $ n $ 项，我们可以用以下方法进行推导：
将数列写成两行，第一行从首项开始，第二行从末项开始，然后相加：
$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n \\ S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1 $$
将这两式相加，得到：
$$ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_n + a_1) $$
由于等差数列的性质，每一对相加的项都等于 $ a_1 + a_n $，共有 $ n $ 对，所以：
$$ 2S_n = n(a_1 + a_n) $$
因此，等差数列的求和公式为：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
公式应用举例
例如，求 1 到 100 的和，这是一个等差数列，首项 $ a_1 = 1 $，末项 $ a_{100} = 100 $，项数 $ n = 100 $。
代入公式得：
$$ S_{100} = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 $$
通过这个公式，我们可以快速计算出任意等差数列的和，大大提高了我们的计算效率。
如果你对等差数列求和公式还有疑问，或者想要更多相关的练习题，欢迎来到“顾老师试卷商城”！
更多试卷请前往顾老师试卷商城