同学们，准备好迎接挑战了吗？这10道题目可不是普通的奥数题，而是真正的“变态难”级别！每一道题都考验你的思维极限，逻辑推理、代数运算、几何构造，样样都要精通。如果你觉得自己是数学高手，那就来试试看吧！
1. 题目一：设 $ a, b, c $ 是正实数，且满足 $ a + b + c = 1 $，求 $ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} $ 的最小值。
2. 题目二：已知 $ x^2 + y^2 = 1 $，求 $ \sqrt{x^2 + 2xy + 2y^2} $ 的最大值。
3. 题目三：若 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $，其中 $ a, b, c $ 为整数，且 $ f(1) = 0 $，$ f(-1) = 0 $，求 $ f(2) $ 的可能值。
4. 题目四：设 $ \triangle ABC $ 中，角 $ A $、$ B $、$ C $ 的对边分别为 $ a $、$ b $、$ c $，若 $ a^2 + b^2 = 2c^2 $，求 $ \tan A \cdot \tan B $ 的值。
5. 题目五：求所有满足 $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ 且 $ x + y + z = 0 $ 的实数解。
6. 题目六：设 $ n $ 是一个正整数，定义 $ S(n) $ 为 $ n $ 的各位数字之和，求 $ S(n) $ 的最大值，使得 $ n^2 $ 的各位数字之和也为 $ S(n) $。
7. 题目七：设 $ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} $，化简该函数并求其定义域。
8. 题目八：设 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 是 $ 1 $ 到 $ n $ 的排列，定义 $ D = \sum_{i=1}^{n} |a_i - i| $，求 $ D $ 的最小值。
9. 题目九：设 $ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \cdots + \frac{1}{x+n} $，求 $ f(x) $ 的极值点。
10. 题目十：设 $ a, b, c $ 为正实数，且 $ abc = 1 $，求 $ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} $ 的最小值。