高中数学难题大全及答案
高中数学是很多同学学习的难点，尤其是难题部分，常常让人头疼不已。为了帮助大家更好地掌握知识、提升解题能力，我们整理了这份《高中数学难题大全及答案》，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等高频考点。
每道题目都附有详细的解答过程，适合课后练习或考前复习使用。无论你是想巩固基础还是挑战高难度题，这里都能找到你需要的内容。
题目1：已知函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ 在 $ x = 1 $ 处取得极值，且 $ f(1) = 0 $，求 $ a $ 的取值范围。
答案：由导数 $ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b $，在 $ x = 1 $ 处取得极值，则 $ f'(1) = 0 $，即 $ 3 + 2a + b = 0 $。又因 $ f(1) = 0 $，代入得 $ 1 + a + b + c = 0 $。结合以上两式可得 $ a $ 的取值范围为 $ a \in (-\infty, 1] $。
题目2：设数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $，求 $ a_n $ 的通项公式。
答案：通过递推关系可以发现 $ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 1 $，因此 $ \frac{1}{a_n} = n $，所以 $ a_n = \frac{1}{n} $。
题目3：已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，求 $ |\vec{a} + \vec{b}| $。
答案：$ \vec{a} + \vec{b} = (4, 1) $，则模长为 $ \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} $。
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