想要挑战更难的数学题吗？这是一份专为高三学生设计的奥数竞赛数学难题试卷。题目涵盖代数、几何、组合数学等多个领域，适合想要提升数学思维和解题能力的学生。无论你是准备竞赛还是想提高自己的数学水平，这份试卷都能帮助你更上一层楼！
设数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，且 $ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $，求 $ \lim_{n \to \infty} a_n $。
答案：极限为 0。
解析：观察递推公式，可以发现 $ a_n $ 是一个正项递减数列，并且有下界 0，因此极限存在。设极限为 $ L $，则由递推式可得 $ L = \frac{L}{1 + L} $，解得 $ L = 0 $。
在平面直角坐标系中，已知点 $ A(1, 2) $、$ B(3, 4) $、$ C(-1, 0) $，求三角形 $ ABC $ 的面积。
答案：面积为 4。
解析：使用行列式法计算面积：面积 = $ \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| $，代入数值后得到结果。
从 1 到 100 的整数中，有多少个数是 3 或 5 的倍数？
答案：47 个。
解析：使用容斥原理：3 的倍数有 33 个，5 的倍数有 20 个，3 和 5 的公倍数有 6 个（即 15 的倍数），所以总数为 33 + 20 - 6 = 47。
已知函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x) + f(x+1) = x^2 $，求 $ f(1) + f(2) + \dots + f(10) $。
答案：165。
解析：将 $ f(x) + f(x+1) = x^2 $ 对 $ x = 1 $ 到 $ x = 9 $ 求和，左边为 $ f(1) + 2f(2) + \dots + 2f(9) + f(10) $，右边为 $ 1^2 + 2^2 + \dots + 9^2 = 285 $。再通过递推关系求和，最终得到结果。
设 $ a, b, c > 0 $，证明 $ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} $。
答案：不等式成立。
解析：利用 Nesbitt 不等式，直接得出结论。