高等代数试卷（共10题）
1. 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的行列式。
2. 设向量 $ \vec{u} = (1, 2, 3) $，$ \vec{v} = (4, 5, 6) $，求它们的点积。
3. 解方程组：
$$
\begin{cases}
x + y = 5 \\
2x - y = 1
\end{cases}
$$
4. 求多项式 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $ 的根。
5. 判断向量组 $ \{(1, 0), (0, 1)\} $ 是否线性无关。
6. 设 $ V $ 是一个向量空间，证明 $ 0 \cdot v = 0 $ 对所有 $ v \in V $ 成立。
7. 计算 $ \int_0^1 x^2 dx $。
8. 求函数 $ f(x) = \sin(x) $ 在区间 $ [0, \pi] $ 上的平均值。
9. 设 $ A $ 是一个正交矩阵，证明 $ A^T A = I $。
10. 设 $ f(x) = \ln(x) $，求其导数 $ f'(x) $。