高中数学竞赛模拟试卷

这是一份精心设计的高中数学竞赛模拟试卷，内容涵盖代数、几何、数论、组合数学等多个领域，适合备战各类数学竞赛的同学使用。

1. 已知函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $ 的图像与 x 轴交于两点，且这两个点之间的距离为 2，求 $ a $ 和 $ b $ 的关系式。

答案：$ a^2 - 4b = 4 $

2. 在平面直角坐标系中，点 A(1, 2)、B(4, 5)、C(2, 6)，判断三角形 ABC 是否为直角三角形。

答案：是直角三角形，角 B 为直角。

3. 设 $ a_n = \frac{1}{n(n+1)} $，求数列 $ \{a_n\} $ 的前 n 项和 $ S_n $。

答案：$ S_n = \frac{n}{n+1} $

4. 解不等式 $ \log_2(x^2 - 3x + 2) > 1 $。

答案：$ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) $

5. 从 1 到 100 的自然数中，能被 3 或 5 整除的数有多少个？

答案：47 个