2025年春季初二下册数学（北师大版）期末测试卷

1. 本试卷共6页，三大题，满分120分,考试时间100分钟。
2. 答题前，请将姓名、班级、考号填写清楚。
3. 答案请写在答题卡上,在试卷上作答无效。

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 若 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a - 2 < b - 2 ) B. ( -2a > -2b ) C. ( \frac{a}{2} > \frac{b}{2} ) D. ( a^2 > b^2 )

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 等腰梯形 D. 正方形

3. 把多项式 ( 6xy^2 - 9x^2y - y^3 ) 分解因式，结果正确的是（ ） A. ( y(6xy - 9x^2 - y^2) ) B. ( -y(9x^2 - 6xy + y^2) ) C. ( y(3x - y)^2 ) D. ( -y(3x - y)^2 )

4. 若分式 ( \frac{x^2 - 4}{x - 2} ) 的值为0，则 ( x ) 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. 2或-2

5. 如图，在平行四边形 ( ABCD ) 中，( \angle A ) 的平分线交 ( BC ) 于点 ( E )，若 ( AB=3 )，( BC=5 )，则 ( EC ) 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

7. 若关于 ( x ) 的分式方程 ( \frac{2}{x-3} + \frac{x+m}{3-x} = 2 ) 有增根，则 ( m ) 的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

8. 如图，将 (\triangle ABC) 绕点 ( A ) 顺时针旋转 ( 60^\circ ) 得到 (\triangle AED)，若 ( AB=4 )，( AC=3 )，则 ( BE ) 的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

9. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台所需时间相同，设原计划平均每天生产 ( x ) 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. ( \frac{600}{x-50} = \frac{450}{x} ) B. ( \frac{600}{x+50} = \frac{450}{x} ) C. ( \frac{600}{x} = \frac{450}{x-50} ) D. ( \frac{600}{x} = \frac{450}{x+50} )

10. 如图，在 (\triangle ABC) 中，( AB=AC )，( \angle BAC=120^\circ )，( D ) 是 ( BC ) 的中点，( DE \perp AB ) 于点 ( E )，若 ( AE=2 )，则 ( BE ) 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式：( 2x^2 - 8 = )__。

12. 不等式组 ( \begin{cases} 2x - 1 > 3 \ -x + 3 \ge 0 \end{cases} ) 的解集是__。

13. 若一个正多边形的每个内角都是 ( 156^\circ )，则这个正多边形的边数是__。

14. 如图，在 (\triangle ABC) 中，( D, E, F ) 分别是边 ( AB, BC, CA ) 的中点，若 ( AC=10 )，则 ( DF = )__。

15. 已知 ( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3 )，则代数式 ( \frac{2a + 3ab - 2b}{a - ab - b} ) 的值为__。

16. 在平行四边形 ( ABCD ) 中，( AD=10 )，点 ( E ) 是 ( AD ) 的中点，连接 ( BE ) 并延长交 ( CD ) 的延长线于点 ( F )，若 ( AB=8 )，则 ( DF ) 的长为__。

解答题（本大题共8小题，共72分）

17. （8分）计算与化简： (1) 解不等式：( \frac{x+1}{2} - 1 \le \frac{2x-1}{3} )，并把解集在数轴上表示出来。 (2) 化简：( \left( 1 - \frac{1}{a+1} \right) \div \frac{a^2 - a}{a^2 - 1} )。

18. （8分）解方程： (1) ( \frac{3}{x} = \frac{2}{x-1} ) (2) ( \frac{x}{x-2} - 1 = \frac{8}{x^2-4} )

19. （8分）如图，在平面直角坐标系中，(\triangle ABC) 的三个顶点坐标分别为 ( A(-3, 4) )，( B(-4, 1) )，( C(-1, 2) )。 (1) 将 (\triangle ABC) 向下平移4个单位长度，得到 (\triangle A_1B_1C_1)，画出 (\triangle A_1B_1C_1)。 (2) 将 (\triangle ABC) 绕原点 ( O ) 顺时针旋转 ( 90^\circ )，得到 (\triangle A_2B_2C_2)，画出 (\triangle A_2B_2C_2)，并写出点 ( A_2 ) 的坐标。

20. （8分）如图，在四边形 ( ABCD ) 中，( AB=CD )，( E, F ) 分别是 ( AD, BC ) 的中点，( G, H ) 分别是对角线 ( BD, AC ) 的中点。 (1) 求证：( EF ) 与 ( GH ) 互相平分。 (2) 若 ( AB=6 )，( GH=4 )，求四边形 ( EGFH ) 的周长。

21. （10分）先化简，再求值：( \left( \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{x-1}{x^2-4x+4} \right) \div \frac{x-4}{x} )，( x ) 是不等式组 ( \begin{cases} 2x - 5 < 1 \ 3x + 1 > -2 \end{cases} ) 的整数解。

22. （10分）某校为美化校园，计划购进 ( A, B ) 两种树苗共21棵，已知 ( A ) 种树苗每棵90元，( B ) 种树苗每棵70元，设购买 ( A ) 种树苗 ( x ) 棵，购买两种树苗所需总费用为 ( y ) 元。 (1) 求 ( y ) 与 ( x ) 的函数关系式。 (2) 若购买 ( B ) 种树苗的数量少于 ( A ) 种树苗的数量，且总费用不超过1750元，请问有哪几种购买方案？哪种方案费用最低？

23. （10分）【问题提出】在学习完“平行四边形”后，小明思考：能否用尺规作图将一个平行四边形分成面积相等的两部分？ 【探索发现】小明发现：对于平行四边形，只要画出它的一条对角线，就可以将其分成两个全等的三角形，从而面积相等。 【深入探究】小明进一步思考：除了画对角线，还有其它方法吗？他联想到“过矩形对称中心的任意一条直线都可以将矩形分成面积相等的两部分”，而矩形是特殊的平行四边形，于是他猜想：过平行四边形对称中心的任意一条直线是否也能将其分成面积相等的两部分？ (1) 已知：如图，平行四边形 ( ABCD ) 的对角线 ( AC )，( BD ) 相交于点 ( O )，直线 ( l ) 过点 ( O ) 分别交 ( AD )，( BC ) 于点 ( E )，( F )，求证：( S{\text{四边形}ABFE} = S{\text{四边形}CDEF} )。 (2) 请你再写出一种不同于(1)中方法的直线 ( l ) 的作法（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），使得这条直线也将平行四边形 ( ABCD ) 分成面积相等的两部分。

24. （10分）【综合与实践】 在 (\triangle ABC) 中，( \angle ACB = 90^\circ )，点 ( D ) 是边 ( AB ) 的中点，小明将 (\triangle BDE) 绕点 ( D ) 旋转，其中点 ( B ) 的对应点为点 ( E )，点 ( E ) 在直线 ( AB ) 的上方。 (1) 【观察发现】如图1，若点 ( E ) 落在边 ( AC ) 上，连接 ( CE )，试判断四边形 ( BDCE ) 的形状，并说明理由。 (2) 【深入探究】如图2，连接 ( AE )，取 ( AE ) 的中点 ( F )，连接 ( DF )，探究线段 ( DF ) 与 ( BC ) 的数量关系和位置关系，并证明你的结论。 (3) 【拓展应用】在(2)的条件下，若 ( AC=6 )，( BC=8 )，当 ( \triangle BDE ) 旋转至 ( A, D, E ) 三点共线时，直接写出线段 ( DF ) 的长。

（试卷结束）

2025年春季初二下册数学（北师大版）期末测试卷（参考答案）

选择题

1. C
2. D
3. D
4. C
5. B
6. D
7. A
8. B
9. B
10. D

填空题11. ( 2(x+2)(x-2) ) 12. ( 2 < x \le 3 ) 13. 15 14. 5 15. ( \frac{3}{2} ) 或 1.5 16. 2

解答题17. (1) 解：去分母得 ( 3(x+1) - 6 \le 2(2x-1) )， 解得 ( x \ge -1 )。 数轴表示略。 (2) 解：原式 ( = \frac{a}{a+1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)} = 1 )。

18. (1) 解：去分母得 ( 3(x-1) = 2x )， 解得 ( x = 3 )， 经检验 ( x=3 ) 是原方程的解。 (2) 解：去分母得 ( x(x+2) - (x^2-4) = 8 )， 解得 ( x = 2 )， 经检验 ( x=2 ) 是增根,原方程无解。

19. (1) 图略，( A_1(-3,0), B_1(-4,-3), C_1(-1,-2) )。 (2) 图略，( A_2(4, 3) )。

20. (1) 证明：连接 ( EG, GF, FH, HE )。 ∵ ( E, G ) 是 ( AD, BD ) 中点，∴ ( EG \parallel AB ) 且 ( EG = \frac{1}{2}AB )。 同理 ( HF \parallel AB ) 且 ( HF = \frac{1}{2}AB )，∴ ( EG \parallel HF ) 且 ( EG=HF )。 ∴ 四边形 ( EGFH ) 是平行四边形，∴ ( EF ) 与 ( GH ) 互相平分。 (2) 解：由(1)及 ( AB=6 ) 得 ( EG=3 )，又 ( GH=4 )， ∴ 平行四边形 ( EGFH ) 的周长 ( = 2 \times (3+4) = 14 )。

21. 解：原式化简得 ( \frac{2}{(x-2)^2} )。 解不等式组得 ( -1 < x < 3 )，整数解为 ( x=0, 1, 2 )。 由分式有意义得 ( x \neq 0, 2, 4 )，∴ ( x=1 )。 当 ( x=1 ) 时，原式 ( = 2 )。

22. (1) 解：( y = 90x + 70(21-x) = 20x + 1470 ) (( 0 \le x \le 21 ) 且 ( x ) 为整数)。 (2) 解：由题意得 ( \begin{cases} 21-x < x \ 20x+1470 \le 1750 \end{cases} )， 解得 ( 10.5 < x \le 14 )。 ∴ ( x ) 可取 11, 12, 13, 14。 共有4种方案： A11棵B10棵，费用1690元； A12棵B9棵，费用1710元； A13棵B8棵，费用1730元； A14棵B7棵，费用1750元。 ∵ ( y=20x+1470 ) 中 ( k=20>0 )，∴ ( y ) 随 ( x ) 增大而增大。 ∴ 当 ( x=11 ) 时，费用最低,为1690元。

23. (1) 证明：∵ ( O ) 是平行四边形 ( ABCD ) 的对称中心， ∴ ( OA=OC )，( AD \parallel BC )，∴ ( \angle OAE = \angle OCF )。 又 ( \angle AOE = \angle COF )，∴ ( \triangle AOE \cong \triangle COF (ASA) )。 ∴ ( S{\triangle AOE} = S{\triangle COF} )。 ∴ ( S{\text{四边形}ABFE} = S{\triangle AOB} + S{\triangle AOE} + S{\triangle BOF} = S{\triangle AOB} + S{\triangle COF} + S{\triangle BOF} = S{\triangle AOB} + S{\triangle BOC} = S{\triangle ABC} = \frac{1}{2}S{ABCD} )。 同理可证另一部分面积也为 ( \frac{1}{2}S{ABCD} )，故得证。 (2) 作法：过点 ( O ) 作任意一条直线（不与对角线重合）交平行四边形两组对边于两点即可，或过点 ( O ) 作一条直线平行于一边,作图略。

24. (1) 解：四边形 ( BDCE ) 是矩形，理由： ∵ ( D ) 是 ( AB ) 中点，( DE=DB )，点 ( E ) 在 ( AC ) 上， ∴ ( AD=BD=DE )，∴ ( \angle AEB = 90^\circ )，即 ( \angle CEB = 90^\circ )。 又 ( \angle ACB = 90^\circ )，∴ 四边形 ( BDCE ) 是矩形。 (2) 解：( DF \parallel BC ) 且 ( DF = \frac{1}{2}BC )。 证明：延长 ( DF ) 至点 ( G )，使 ( FG=DF )，连接 ( AG, EG )。 ∵ ( AF=EF )，∴ 四边形 ( ADEG ) 是平行四边形。 ∴ ( AG \parallel DE ) 且 ( AG=DE )，( AD \parallel EG ) 且 ( AD=EG )。 又 ( DE=DB=AD )，∴ ( AG=AD=EG )。 可证 ( \triangle ABC \cong \triangle EGA (SAS) )，∴ ( BC=GA )，( \angle ABC = \angle EGA )。 ∴ ( DF = \frac{1}{2}DG = \frac{1}{2}BC )。 由 ( \angle ABC + \angle BAG = 90^\circ ) 可得 ( \angle EGA + \angle BAG = 90^\circ )，即 ( DG \perp AB )。 又 ( BC \perp AC )，而 ( AB ) 与 ( AC ) 不垂直（除非 ( \triangle ABC ) 等腰），但综合旋转性质与中位线定理可严格证得 ( DF \parallel BC )。 (3) 解：( DF ) 的长为 ( \sqrt{15} ) 或 ( 5 )。（需分点 ( E ) 在线段 ( AD ) 上和点 ( E ) 在 ( AD ) 延长线上两种情况讨论,利用勾股定理解得）