（考试时间：90分钟 满分：100分）
选择题（每题3分，共15分）
下列公式中，属于完全平方公式的是（ ） A. ( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ) B. ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ) C. ( a^2 + b^2 = (a+b)^2 ) D. ( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) )
计算 ( (x-3)^2 ) 的正确结果是（ ） A. ( x^2 - 9 ) B. ( x^2 - 3x + 9 ) C. ( x^2 - 6x + 9 ) D. ( x^2 + 6x + 9 )
在 (\triangle ABC) 中，(\angle C = 90^\circ)，则下列等式成立的是（ ） A. ( a^2 + b^2 = c^2 ) B. ( a^2 + c^2 = b^2 ) C. ( b^2 + c^2 = a^2 ) D. ( c^2 - a^2 = b^2 )
下列因式分解公式正确的是（ ） A. ( x^2 - 4y^2 = (x-4y)(x+4y) ) B. ( x^2 - 4y^2 = (x-2y)^2 ) C. ( x^2 - 4y^2 = (x-2y)(x+2y) ) D. ( x^2 + 4y^2 = (x+2y)^2 )
点 ( P(2, -3) ) ( x ) 轴对称的点的坐标是（ ） A. ( (-2, -3) ) B. ( (2, 3) ) C. ( (-2, 3) ) D. ( (2, -3) )
填空题（每空2分，共20分）
- 平方差公式：( a^2 - b^2 = ) ___。
- 完全平方和公式：( (a+b)^2 = ) ___。
- 完全平方差公式：( (a-b)^2 = ) ___。
- 勾股定理（在Rt△ABC中，∠C=90°）：____+____=____。
- 坐标平面内，点 ( P(x, y) ) ( y ) 轴对称的点的坐标为____。
- 因式分解：( x^3 - x = ) ___（写出公式形式或过程关键步骤）。
- 若 ( x^2 + kx + 9 ) 是一个完全平方式，则常数 ( k = )____。
计算题（每题6分，共30分）
- 运用乘法公式计算：( 103 \times 97 )。
- 运用乘法公式计算：( (2x + 5y)^2 )。
- 因式分解：( 4a^2 - 9b^2 )。
- 因式分解：( x^2 - 6x + 9 )。
- 先化简，再求值：( (2m-n)^2 - (m-2n)(m+2n) )，( m=1, n=-1 )。
解答题（第18题10分，第19题12分，第20题13分，共35分）
公式推导与理解(1) 请用几何图形面积法说明公式 ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ) 的正确性（可画示意图并配以文字说明）。（5分） (2) 已知 ( a+b=5, ab=6 )，不求出 ( a, b ) 的具体值，直接利用公式求 ( a^2 + b^2 ) 的值。（5分）
勾股定理的应用如图，在四边形 ( ABCD ) 中，( \angle ABC = 90^\circ )，( AB = 3 )，( BC = 4 )，( CD = 12 )，( AD = 13 )。 （1）连接 ( AC )，求线段 ( AC ) 的长度。（6分） （2）判断 ( \triangle ACD ) 的形状，并说明理由。（6分）
综合探究我们知道公式 ( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 )。 (1) 请根据上式，直接写出 ( (a-b)^3 ) 的展开式。（3分） (2) 利用（1）的结论，计算：若 ( x - \frac{1}{x} = 2 )，求 ( x^3 - \frac{1}{x^3} ) 的值。（提示：可将 ( x ) 看作 ( a )，( \frac{1}{x} ) 看作 ( b )）（10分）
2025年初二上册数学公式掌握情况测试卷 参考答案
选择题
- B
- C
- A
- C
- B
填空题6. ( (a+b)(a-b) ) 7. ( a^2 + 2ab + b^2 ) 8. ( a^2 - 2ab + b^2 ) 9. ( a^2 )， ( b^2 )， ( c^2 ) （或：两条直角边的平方和等于斜边的平方） 10. ( (-x, y) ) 11. ( x(x+1)(x-1) ) 12. ( \pm 6 )
计算题13. 解：( 103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991 )。 14. 解：( (2x + 5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (5y) + (5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2 )。 15. 解：( 4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a + 3b)(2a - 3b) )。 16. 解：( x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2 )。 17. 解：原式 ( = (4m^2 - 4mn + n^2) - (m^2 - 4n^2) ) ( = 4m^2 - 4mn + n^2 - m^2 + 4n^2 ) ( = 3m^2 - 4mn + 5n^2 )。 当 ( m=1, n=-1 ) 时， 原式 ( = 3 \times 1^2 - 4 \times 1 \times (-1) + 5 \times (-1)^2 = 3 + 4 + 5 = 12 )。
解答题18. (1) 示意图：边长为 ( a+b ) 的大正方形，其面积可表示为 ( (a+b)^2 )，这个大正方形可以分割成1个边长为 ( a ) 的小正方形（面积 ( a^2 )），1个边长为 ( b ) 的小正方形（面积 ( b^2 )）和两个长为 ( a )、宽为 ( b ) 的长方形（面积均为 ( ab )），总面积也等于 ( a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 )，故公式成立。 (2) 解：( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13 )。
（1）解：在 ( Rt\triangle ABC ) 中，( \angle B=90^\circ )， 由勾股定理得：( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 )。 答：( AC ) 的长度为 5。 （2）解：( \triangle ACD ) 是直角三角形。 理由：在 ( \triangle ACD ) 中，( AC=5 )，( CD=12 )，( AD=13 )。 因为 ( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 )， 即 ( AC^2 + CD^2 = AD^2 )， 所以由勾股定理的逆定理可知，( \triangle ACD ) 是直角三角形，且 ( \angle ACD = 90^\circ )。
(1) ( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 )。 (2) 解：令 ( a = x )，( b = \frac{1}{x} )，则 ( a - b = x - \frac{1}{x} = 2 )。 由（1）( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) )。 即 ( (x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x}) )。 代入已知：( 2^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3 \times 1 \times 2 )。 ( 8 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 6 )。 ( x^3 - \frac{1}{x^3} = 8 + 6 = 14 )。