（满分：120分，考试时间：100分钟）
注意事项：
- 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时,选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
实数-3的相反数是（ ） A. 3 B. -3 C. 1/3 D. -1/3
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 矩形
2025年5月,我国某科技公司发布了新一代人工智能芯片，其晶体管数量约为 ( 2.17 \times 10^{11} ) 个，将数据 ( 2.17 \times 10^{11} ) 用原数表示为（ ） A. 21700000000 B. 217000000000 C. 2170000000 D. 217000000
下列计算正确的是（ ） A. ( a^2 + a^3 = a^5 ) B. ( (2a)^3 = 6a^3 ) C. ( a^8 \div a^2 = a^4 ) D. ( (a^2)^3 = a^6 )
不等式组 ( \begin{cases} 2x - 1 \le 3 \ x + 2 > 1 \end{cases} ) 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. （选项图略，解集为 -1 < x ≤ 2） B. （选项图略） C. （选项图略） D. （选项图略）
如图,直线 ( a \parallel b )，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，其中直角顶点落在直线 ( b ) 上，若 ( \angle 1 = 45^\circ )，则 ( \angle 2 ) 的度数为（ ） A. ( 15^\circ ) B. ( 20^\circ ) C. ( 25^\circ ) D. ( 30^\circ )
（图略：三角板的一个锐角顶点在直线a上，∠1是三角板这个锐角与直线a所成的内错角或同位角，∠2是直线a、b被另一条线所截的同旁内角或内错角，情境需保证∠2可求）
关于一元二次方程 ( x^2 - 2x + m = 0 ) 有实数根，则 ( m ) 的取值范围是（ ） A. ( m \ge 1 ) B. ( m \le 1 ) C. ( m \ge -1 ) D. ( m \le -1 )
在一次“环保知识”竞赛中，6名学生的成绩（单位：分）分别为：80，85，90，80，95，100，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 80分，85分 B. 80分，87.5分 C. 90分，87.5分 D. 80分，90分
如图,( AB ) 是 ( \odot O ) 的直径，( C, D ) 是 ( \odot O ) 上的两点，连接 ( AC, AD, CD )，若 ( \angle CAB = 35^\circ )，则 ( \angle ADC ) 的度数为（ ） A. ( 35^\circ ) B. ( 55^\circ ) C. ( 65^\circ ) D. ( 70^\circ )
如图,在矩形 ( ABCD ) 中，( AB=4 )，( BC=3 )，动点 ( P ) 从点 ( A ) 出发，沿 ( A \to B \to C ) 的路径匀速运动到点 ( C ) 停止，设点 ( P ) 的运动路程为 ( x )，( \triangle APC ) 的面积为 ( y )，则能大致反映 ( y ) 与 ( x ) 之间函数关系的图象是（ ） A. （选项图略：先上升后下降的折线或曲线） B. （选项图略） C. （选项图略） D. （选项图略）
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
分解因式：( 2x^2 - 8 = )__。
若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是__。
计算：( \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1} = )__。
已知点 ( A(-2, y_1) )，( B(1, y_2) ) 都在反比例函数 ( y = -\frac{6}{x} ) 的图象上，则 ( y_1 )__( y_2 )（填“>”、“<”或“=”）。
如图,在 ( \triangle ABC ) 中，( \angle ACB = 90^\circ )，( D, E, F ) 分别是边 ( AB, BC, CA ) 的中点，若 ( AB = 10 )，则 ( DF ) 的长为__。
如图,在正方形 ( ABCD ) 中，( AB = 2\sqrt{2} )，点 ( E ) 是边 ( BC ) 的中点，连接 ( AE )，将 ( \triangle ABE ) 沿 ( AE ) 翻折得到 ( \triangle AFE )，延长 ( EF ) 交边 ( CD ) 于点 ( G )，则 ( CG ) 的长为__。
解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
（6分）计算：( |-3| + (2025 - \pi)^0 - \sqrt{9} + 2^{-1} )。
（6分）先化简，再求值：( (1 - \frac{1}{a+1}) \div \frac{a}{a^2 - 1} )，( a = \sqrt{2} - 1 )。
（8分）为推进“智慧校园”建设，某校准备为教室安装一批智能护眼照明灯，经市场调查发现：购买3个A型护眼灯和4个B型护眼灯共需2300元；购买1个A型护眼灯和2个B型护眼灯共需850元，求每个A型护眼灯和每个B型护眼灯的售价各是多少元？
（8分）2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，某校为增强学生国家安全意识，举行了相关知识竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 ( x ) 表示，共分为四组：A. ( 80 \le x < 85 )，B. ( 85 \le x < 90 )，C. ( 90 \le x < 95 )，D. ( 95 \le x \le 100 )），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩在C组的数据是：90，91，92，92，93，94。 八年级20名学生的成绩是：82，85，86，88，90，91，92，93，93，94，95，96，96，97，98，98，99，100，100，100。
七年级抽取的学生成绩扇形统计图（图略，需体现各组占比，例如A组20%，B组30%，C组？%，D组10%） 八年级抽取的学生成绩条形统计图（图略，需体现各组人数）
根据以上信息,解答下列问题： （1）填空：( a = )__，( b = )__，( m = )__； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对国家安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次竞赛，请估计两个年级竞赛成绩达到优秀（( x \ge 90 )）的学生总人数。
（10分）如图，某数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆 ( AB ) 的高度，在飞行高度为 ( 40m )（即 ( CD = 40m )）的无人机 ( C ) 处测得旗杆顶端 ( A ) 的俯角为 ( 37^\circ )，测得旗杆底端 ( B ) 的俯角为 ( 60^\circ )，求旗杆 ( AB ) 的高度。（结果保留整数，参考数据：( \sin 37^\circ \approx 0.60 )，( \cos 37^\circ \approx 0.80 )，( \tan 37^\circ \approx 0.75 )，( \sqrt{3} \approx 1.73 )）
（图略：无人机C在水平线之上，从C看A、B的视线与水平线构成俯角，旗杆AB垂直于水平地面。）
（10分）如图，在 ( Rt\triangle ABC ) 中，( \angle ACB = 90^\circ )，以 ( BC ) 为直径的 ( \odot O ) 交 ( AB ) 于点 ( D )，( DE ) 是 ( \odot O ) 的切线，交 ( AC ) 于点 ( E )。 （1）求证：( AE = DE )； （2）若 ( AC = 6 )，( \tan A = \frac{3}{4} )，求 ( \odot O ) 的半径。
（12分）【问题情境】 在平面直角坐标系中，抛物线 ( y = ax^2 + bx + 2 ) (( a \neq 0 )) 经过点 ( (1, 0) ) 和 ( (4, 0) )。 【问题探究】 （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当 ( -1 \le x \le 5 ) 时，求函数值 ( y ) 的取值范围； （3）点 ( P(m, n) ) 是该抛物线上的一个动点。 ① 当 ( m > 4 ) 时，( n ) 的值随 ( m ) 的增大而__（填“增大”或“减小”）； ② 若点 ( P ) 到 ( x ) 轴的距离小于3，求 ( m ) 的取值范围。 【问题拓展】 （4）将该抛物线在 ( x ) 轴下方的部分沿 ( x ) 轴翻折，其余部分保持不变，得到一条新图象，当直线 ( y = x + k ) 与新图象有且只有三个公共点时，求 ( k ) 的值。
（12分）【综合与实践】 在数学活动课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转与探究”为主题的数学活动。 【操作发现】 如图1，在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = 6 )，( AD = 8 )，将矩形 ( ABCD ) 绕点 ( A ) 顺时针旋转 ( \alpha ) (( 0^\circ < \alpha < 90^\circ )) 得到矩形 ( AB'C'D' )，连接 ( BD' )。 （1）如图2，当点 ( D' ) 落在对角线 ( AC ) 上时，( \alpha ) 的度数为__，( BD' ) 的长为__； 【深入探究】 （2）如图3，当矩形 ( AB'C'D' ) 的边 ( B'C' ) 与 ( CD ) 交于点 ( E ) 时，连接 ( BE )。 ① 求证：( BE = D'E )； ② 设 ( CE = x )，( BE = y )，求 ( y ) ( x ) 的函数关系式，并写出自变量 ( x ) 的取值范围； 【拓展应用】 （3）在旋转过程中，是否存在某个位置，使得 ( \triangle BD'D ) 是等腰三角形？若存在，请直接写出此时 ( DD' ) 的长；若不存在，请说明理由。
2025年初中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准
选择题（每小题3分，共30分）
- A 2. D 3. B 4. D 5. A
- A 7. B 8. B 9. B 10. C （注：第6、10题选项需根据所画图形具体确定，此处为示例）
填空题（每小题3分，共18分）11. ( 2(x+2)(x-2) ) 12. 8 13. 1 14. > 15. 5 16. ( \frac{2}{3} )
解答题（共72分）17. （6分）解：原式 ( = 3 + 1 - 3 + \frac{1}{2} ) ………………………… (4分) ( = 1 + \frac{1}{2} ) ( = \frac{3}{2} ) ………………………………………………………… (6分)
（6分）解：原式 ( = \frac{a+1-1}{a+1} \div \frac{a}{(a+1)(a-1)} ) ( = \frac{a}{a+1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{a} ) …………………………………… (3分) ( = a - 1 ) ………………………………………………………… (4分) 当 ( a = \sqrt{2} - 1 ) 时， 原式 ( = (\sqrt{2} - 1) - 1 = \sqrt{2} - 2 ) ………………………… (6分)
（8分）解：设每个A型护眼灯售价为 ( x ) 元，每个B型护眼灯售价为 ( y ) 元。 根据题意，得 ( \begin{cases} 3x + 4y = 2300 \ x + 2y = 850 \end{cases} ) ………………………… (4分) 解得 ( \begin{cases} x = 300 \ y = 350 \end{cases} ) ………………………………………………………… (7分) 答：每个A型护眼灯售价为300元，每个B型护眼灯售价为350元。…… (8分)
（8分）解：（1）填空：( a = 92.5 )，( b = 96 )，( m = 40 )； ……………… (3分) （注：a为七年级成绩中位数，b为八年级成绩众数，m为七年级C组百分比） （2）我认为八年级学生对国家安全知识掌握得更好。………………… (4分) 理由：八年级学生成绩的平均数（或中位数、众数）高于七年级，说明整体水平更高。（或八年级学生成绩的优秀率更高）………………… (6分) （3）解：七年级优秀人数约为：( 400 \times (40\% + 10\%) = 200 )（人） 八年级优秀人数约为：( 500 \times \frac{14}{20} = 350 )（人）………………… (7分) 估计两个年级竞赛成绩达到优秀的学生总人数为：( 200 + 350 = 550 )（人） 答：估计两个年级竞赛成绩达到优秀的学生总人数约为550人。…… (8分)
（10分）解：如图，过点C作 ( CE \perp AB ) 于点 ( E )，则四边形 ( CDBE ) 是矩形。 ∴ ( EB = CD = 40m )，( CE = DB )。 在 ( Rt\triangle CEB ) 中，( \angle BCE = 60^\circ )， ( \tan 60^\circ = \frac{EB}{CE} )，即 ( \sqrt{3} \approx \frac{40}{CE} )。 ∴ ( CE \approx \frac{40}{\sqrt{3}} \approx \frac{40}{1.73} \approx 23.12(m) )。 ………………………… (4分) 在 ( Rt\triangle CAE ) 中，( \angle ACE = 37^\circ )， ( \tan 37^\circ = \frac{AE}{CE} )，即 ( 0.75 \approx \frac{AE}{23.12} )。 ∴ ( AE \approx 23.12 \times 0.75 \approx 17.34(m) )。 ………………………… (8分) ∴ ( AB = EB - AE \approx 40 - 17.34 \approx 22.66 \approx 23(m) )。 答：旗杆AB的高度约为23米。 ………………………… (10分)
（10分）（1）证明：连接 ( OD )。 ∵ ( DE ) 是 ( \odot O ) 的切线， ∴ ( OD \perp DE )，即 ( \angle ODE = 90^\circ )。 ………………………… (1分) ∵ ( BC ) 是直径， ∴ ( \angle BDC = 90^\circ )，即 ( \angle ADO + \angle ODC = 90^\circ )。 ∵ ( \angle ACB = 90^\circ )， ∴ ( \angle A + \angle B = 90^\circ )。 ∵ ( OB = OD )， ∴ ( \angle B = \angle ODB )。 ∴ ( \angle A = \angle ADO )。 ………………………… (3分) ∴ ( \angle ADE = \angle ODE - \