（满分：150分，时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )， ( B = { x \mid x^2 - 2x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } ) B. ( { x \mid 0 \leq x < 2 } ) C. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } ) D. ( { x \mid -2 < x \leq 2 } )
若复数 ( z = \frac{2+i}{1-i} )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )， ( \vec{b} = (m, -1) )，且 ( (\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{a} )，则实数 ( m = )（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是（ ） A. ( (0, 1) ) B. ( (1, 2) ) C. ( (2, 3) ) D. ( (3, 4) )
已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(-3, 4) )，则 ( \sin 2\alpha = )（ ） A. ( -\frac{24}{25} ) B. ( -\frac{12}{25} ) C. ( \frac{12}{25} ) D. ( \frac{24}{25} )
已知 ( a = \log_2 0.3 )， ( b = 2^{0.3} )， ( c = 0.3^{0.2} )，则（ ） A. ( a < b < c ) B. ( a < c < b ) C. ( b < a < c ) D. ( c < a < b )
已知直线 ( l_1: ax + 2y + 1 = 0 ) 与直线 ( l_2: x + (a-1)y + a = 0 ) 平行，则实数 ( a ) 的值为（ ） A. -1 B. 2 C. -1 或 2 D. 以上都不对
已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） （此处应有简单三视图描述，主视图和左视图为矩形，俯视图为圆，代表一个圆柱体，高10cm，底面半径2cm） A. ( 20\pi \, \text{cm}^3 ) B. ( 30\pi \, \text{cm}^3 ) C. ( 40\pi \, \text{cm}^3 ) D. ( 50\pi \, \text{cm}^3 )
执行如图所示的程序框图，若输入 ( n ) 的值为 5，则输出 ( S ) 的值为（ ） （框图描述：开始 -> 输入n -> S=0, i=1 -> 判断 i<=n? -> 是 -> S=S+1/(i*(i+1)) -> i=i+1 -> 返回判断 -> 否 -> 输出S -> 结束） A. ( \frac{5}{6} ) B. ( \frac{4}{5} ) C. ( \frac{6}{7} ) D. ( \frac{7}{8} )
从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人恰好性别不同的概率为（ ） A. ( \frac{1}{5} ) B. ( \frac{2}{5} ) C. ( \frac{3}{5} ) D. ( \frac{4}{5} )
在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，若 ( a = 2\sqrt{3} )， ( b = 2\sqrt{2} )， ( B = 45^\circ )，则角 ( A ) 等于（ ） A. ( 30^\circ ) B. ( 60^\circ ) C. ( 60^\circ ) 或 ( 120^\circ ) D. ( 30^\circ ) 或 ( 150^\circ )
已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x+2) = -f(x) )，且当 ( x \in [0, 1] ) 时， ( f(x) = 2^x - 1 )，则 ( f(2025) = )（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
函数 ( f(x) = \sqrt{4 - x^2} + \frac{1}{\ln(x+1)} ) 的定义域为__。
已知 ( x > 0, y > 0 )，且 ( x + 2y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为__。
已知数列 ( { a_n } ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2n^2 - 3n )，则数列 ( { a_n } ) 的通项公式为 ( a_n = )__。
已知点 ( P ) 是椭圆 ( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 ) 上的一个动点，点 ( F_1, F_2 ) 是椭圆的左、右焦点，则 ( \triangle PF_1F_2 ) 的周长为__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知等差数列 ( { a_n } ) 满足 ( a_3 = 5 )， ( a_7 = 13 )。 （1）求数列 ( { a_n } ) 的通项公式； （2）设 ( b_n = \frac{1}{an a{n+1}} )，求数列 ( { b_n } ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（12分）某校为了解学生每周课外阅读时间，随机抽取了 100 名学生进行调查，将所得数据按照 ( [0, 2) )， ( [2, 4) )， ( [4, 6) )， ( [6, 8) )， ( [8, 10] ) 分成 5 组，并绘制了如图所示的频率分布直方图。 （1）求频率分布直方图中 ( a ) 的值； （2）估计这 100 名学生每周课外阅读时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）现从每周阅读时间在 ( [6, 8) ) 和 ( [8, 10] ) 的学生中，采用分层抽样的方法抽取 6 人参加读书分享会，再从这 6 人中随机抽取 2 人作为主讲人，求抽取的 2 人恰好来自不同组的概率。
（12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )。 （1）求证：( CD \perp ) 平面 ( PAD )； （2）求点 ( C ) 到平面 ( PBD ) 的距离。
（12分）已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 )。 （1）求圆 ( C ) 的圆心坐标和半径； （2）已知直线 ( l: 3x + 4y + m = 0 ) 与圆 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = 4 )，求实数 ( m ) 的值。
（12分）已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的单调区间和极值； （2）若方程 ( f(x) = k ) 有三个不同的实数根，求实数 ( k ) 的取值范围。
（12分）已知抛物线 ( C: y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )。 （1）求点 ( F ) 的坐标； （2）过点 ( F ) 的直线 ( l ) 与抛物线 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，若 ( |AB| = 8 )，求直线 ( l ) 的方程。
2025年高中数学必修课本综合测试卷（参考答案）
选择题
- B ( B = [0, 2] )，故 ( A \cap B = [0, 2) )
- D ( z = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i )，共轭复数为 ( \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i ),在第四象限。
- B ( \vec{a} + \vec{b} = (1+m, 1) )，由 ( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 ) 得 ( (1+m)1 + 12 = 0 )，解得 ( m = -3 )。
- B ( f(1) = \ln2 - 2 < 0 )， ( f(2) = \ln3 - 1 > 0 ),由零点存在定理可知。
- A ( \sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = -\frac{3}{5} )， ( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{24}{25} )。
- B ( a < 0 )， ( b > 1 )， ( 0 < c < 1 )，故 ( a < c < b )。
- B 由 ( a(a-1) - 2*1 = 0 ) 得 ( a^2 - a - 2 = 0 )，解得 ( a = -1 ) 或 ( 2 )，当 ( a = -1 ) 时，两直线重合，舍去，故 ( a = 2 )。
- C （假设圆柱体）体积 ( V = \pi r^2 h = \pi2^2 10 = 40\pi )。
- A 程序计算 ( S = \sum{i=1}^{5} \frac{1}{i(i+1)} = \sum{i=1}^{5} (\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} )。
- C 总情况数 ( C_5^2 = 10 )，一男一女情况数 ( C_3^1 * C_2^1 = 6 )，概率 ( P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} )。
- C 由正弦定理 ( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} ) 得 ( \sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{2\sqrt{3} * \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} )，又 ( a > b )，故 ( A > B )， ( A = 60^\circ ) 或 ( 120^\circ )。
- B 由 ( f(x+2) = -f(x) ) 得 ( f(x+4) = -f(x+2) = f(x) )，周期为 4，又 ( f(x) ) 为奇函数， ( f(0) = 0 )。 ( 2025 = 4506 + 1 )，故 ( f(2025) = f(1) = 2^1 - 1 = 1 )，注意：( f(1) = 1 )，但 ( f(0) = 0 )，且 ( f(x+2) = -f(x) )，( f(2) = -f(0) = 0 )， ( f(3) = -f(1) = -1 )， ( f(4) = -f(2) = 0 )，周期为4。 ( f(2025) = f(4506+1) = f(1) = 1 )。（更正：原答案B(0)有误，应为C(1)）
填空题13. ( (-1, 0) \cup (0, 2] ) （要求 ( 4 - x^2 \geq 0 ) 且 ( x+1 > 0 ) 且 ( \ln(x+1) \neq 0 )） 14. ( 9 ) （ ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = (x+2y)(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}) = 1 + \frac{2x}{y} + \frac{2y}{x} + 4 \geq 5 + 2\sqrt{\frac{2x}{y} \cdot \frac{2y}{x}} = 5 + 4 = 9 ) ） 15. ( 4n - 5 ) （ ( n=1 ) 时， ( a_1 = S_1 = -1 )； ( n \geq 2 ) 时， ( a_n = Sn - S{n-1} = (2n^2-3n) - [2(n-1)^2 - 3(n-1)] = 4n - 5 )，对 ( n=1 ) 也成立） 16. ( 16 ) （ ( a = 4 )， ( \triangle PF_1F_2 ) 周长 ( = PF_1 + PF_2 + F_1F_2 = 2a + 2c = 24 + 2\sqrt{16-9} = 8 + 2*\sqrt{7} )，这里 ( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{7} )，故周长为 ( 8 + 2\sqrt{7} ) ）
解答题17. （1）设公差为 ( d )，由 ( a_7 - a_3 = 4d = 8 ) 得 ( d = 2 )， ( a_1 = a_3 - 2d = 1 )，故 ( a_n = 1 + (n-1)*2 = 2n - 1 )。 （2） ( b_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) )， ( T_n = \frac{1}{2} \left[ (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) \right] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{n}{2n+1} )。
- （1）由 ( (0.02 + 0.03 + a + 0.15 + 0.05)2 = 1 ) 得 ( a = 0.25 )。 （2）平均数 ( = 104 + 306 + 55 + 73 + 91 = 5.4 )（小时）。 设中位数为 ( x )，则 ( 0.04 + 0.06 + 0.25(x-4) = 0.5 )，解得 ( x = 5.6 )（小时）。 （3）阅读时间在 ( [6, 8) ) 的人数为 ( 100152 = 30 )，在 ( [8, 10] ) 的人数为 ( 100052 = 10 )。 分层抽样，从 ( [6, 8) ) 组抽 ( 6 \frac{30}{40} = 4.5 \approx 4 ) 人（实际计算按比例 ( 30:10=3:1 )，故抽6人，应为4.5和1.5，通常取整为4和2，此处假设按精确比例可抽非整数，实际考试会调整数据使为整数，为