选择题（每小题5分，共40分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( { x \mid 0 \leq x \leq 3 } )
B. ( { x \mid x > -2 } )
C. ( { x \mid x \geq 0 } )
D. ( { x \mid -2 < x < 0 } )函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为（ ）
A. ( [2, +\infty) )
B. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) )
C. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) )
D. ( (2, +\infty) )若函数 ( f(x) = x^2 + 2(a-1)x + 2 ) 在区间 ( (-\infty, 4] ) 上单调递减，则 ( a ) 的取值范围是（ ）
A. ( a \leq -3 )
B. ( a \geq -3 )
C. ( a \leq 5 )
D. ( a \geq 5 )已知 ( f(x) ) 是奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = )（ ）
A. ( -x^2 - 2x )
B. ( x^2 + 2x )
C. ( -x^2 + 2x )
D. ( x^2 - 2x )设 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 6 )，( c = \log_8 12 )，则（ ）
A. ( a < b < c )
B. ( c < b < a )
C. ( b < a < c )
D. ( c < a < b )方程 ( 2^x + x = 4 ) 的根所在区间为（ ）
A. ( (0, 1) )
B. ( (1, 2) )
C. ( (2, 3) )
D. ( (3, 4) )已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ ax + b, & x > 1 \end{cases} ) 在 ( x = 1 ) 处连续，则 ( a + b = )（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3若 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \tan \alpha = )（ ）
A. ( \frac{3}{4} )
B. ( -\frac{3}{4} )
C. ( \frac{4}{3} )
D. ( -\frac{4}{3} )
填空题（每小题5分，共20分）
9. 已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4} )，则 ( \complement_U (A \cup B) = )__。
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} + \log_5 35 - \log_5 7 = )__。
函数 ( y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 3) ) 的单调递增区间是__。
若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 1 ) 在区间 ( [1, 3] ) 上有最小值 ( -2 )，则 ( a = )__。
解答题（共40分）
13. （10分）已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 5x + 6 \leq 0 } )，( B = { x \mid m+1 \leq x \leq 2m-1 } )。
（1）若 ( m = 3 )，求 ( A \cap B )；
（2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（10分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。
（1）判断 ( f(x) ) 在区间 ( [0, +\infty) ) 上的单调性，并证明；
（2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。（10分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数 ( f(x) ) 满足：当 ( x \geq 0 ) 时，( f(x) = 2^x + x )。
（1）求 ( f(x) ) 的解析式；
（2）解方程 ( f(x) = 3 )。（10分）某工厂生产一种产品的固定成本为 2000 元，每生产一件产品，成本增加 10 元，已知总收益 ( R(x) )（单位：元）与年产量 ( x )（单位：件）满足 ( R(x) = \begin{cases} 40x - 0.1x^2, & 0 \leq x \leq 200 \ 6000, & x > 200 \end{cases} )
（1）写出年利润 ( L(x) ) 关于年产量 ( x ) 的函数解析式；
（2）年产量为多少时，工厂所得利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题
- A
- B
- A
- C
- B
- B
- C
- B
填空题
9. ( {2, 5} )
10. ( 10 )
11. ( (-\infty, 1) )
12. ( 2 )
解答题
13. （1）( A = [2, 3] )，( m = 3 ) 时 ( B = [4, 5] )，( A \cap B = \varnothing )
（2）若 ( B \neq \varnothing )，则 ( m+1 \leq 2m-1 ) 即 ( m \geq 2 )，且 ( m+1 \geq 2 )，( 2m-1 \leq 3 ) 得 ( 2 \leq m \leq 2 )，故 ( m = 2 )；
若 ( B = \varnothing )，则 ( m+1 > 2m-1 ) 即 ( m < 2 )，综上，( m \leq 2 )。
（1）单调递增，证明：设 ( 0 \leq x_1 < x_2 )，
( f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2-1}{x_2+1} - \frac{2x_1-1}{x_1+1} = \frac{3(x_2-x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)} > 0 )。
（2）由单调性，值域为 ( [f(2), f(5)] = \left[ 1, \frac{3}{2} \right] )。（1）当 ( x < 0 ) 时，( -x > 0 )，( f(x) = f(-x) = 2^{-x} - x )，
故 ( f(x) = \begin{cases} 2^x + x, & x \geq 0 \ 2^{-x} - x, & x < 0 \end{cases} )。
（2）当 ( x \geq 0 ) 时，( 2^x + x = 3 )，易得 ( x = 1 )；
当 ( x < 0 ) 时，( 2^{-x} - x = 3 )，解得 ( x = -1 )，故方程解为 ( x = \pm 1 )。（1）( L(x) = \begin{cases} -0.1x^2 + 30x - 2000, & 0 \leq x \leq 200 \ -10x + 4000, & x > 200 \end{cases} )
（2）当 ( 0 \leq x \leq 200 ) 时，( L(x) = -0.1(x-150)^2 + 250 )，最大值为 ( 250 )（元）；
当 ( x > 200 ) 时，( L(x) ) 单调递减，最大值小于 ( 2000 )，故年产量为 150 件时利润最大，最大利润为 250 元。