- 本试卷共4页,满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前,请确认你已准备好相关电子版教材或资料以备查阅（如适用）。
- 答案请填写在答题卡相应位置。
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | x \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | 0 \leq x \leq 3 } ) B. ( { x | x > -2 } ) C. ( { x | x \leq 3 } ) D. ( { x | -2 < x < 0 } )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [2, +\infty) ) B. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) D. ( (3, +\infty) )
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{2} )， ( c = \log_{2} 0.3 )，则（ ） A. ( a > b > c ) B. ( b > a > c ) C. ( a > c > b ) D. ( c > a > b )
已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(4, -3) )，则 ( \sin \alpha + 2 \cos \alpha = )（ ） A. ( -\frac{1}{5} ) B. ( \frac{1}{5} ) C. ( -\frac{2}{5} ) D. ( \frac{2}{5} )
方程 ( \log{2} x + \log{2} (x-1) = 1 ) 的解是（ ） A. ( x = 1 ) B. ( x = 2 ) C. ( x = 3 ) D. ( x = 4 )
为了得到函数 ( y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) ) 的图象，只需将函数 ( y = \sin 2x ) 的图象（ ） A. 向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 B. 向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 C. 向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位 D. 向右平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x, & x \geq 2 \ (\frac{1}{2})^{x} - 1, & x < 2 \end{cases} ) 是 ( \mathbf{R} ) 上的减函数，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (-\infty, 2) ) B. ( (-\infty, \frac{13}{8}] ) C. ( (0, 2) ) D. ( (-\infty, \frac{13}{8}) )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列函数中,既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = |x| + 1 ) B. ( y = x^{2} + 2 ) C. ( y = 2^{|x|} ) D. ( y = \log_{2} |x| )
下列说法正确的是（ ） A. “ ( x > 2 ) ” 是 “ ( x > 3 ) ” 的必要不充分条件 B. 函数 ( f(x) = x^{2} - 2ax + 1 ) 在 ( [2, +\infty) ) 上单调递增的充要条件是 ( a \leq 2 ) C. 若 ( a > b > 0 )，则 ( a^{2} > b^{2} ) D. 若 ( a > b )，( c > d )，则 ( ac > bd )
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则（ ） （此处应有图，描述：图象显示周期为 ( \pi )，过点 ( (\frac{\pi}{6}, 1) ) 和点 ( (\frac{2\pi}{3}, 0) ) 等关键信息） A. ( \omega = 2 ) B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} ) C. 函数 ( f(x) ) 的图象关于点 ( (-\frac{\pi}{12}, 0) ) 对称 D. 函数 ( f(x) ) 在区间 ( [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] ) 上单调递减
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
计算： ( (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} + \log_{4} 8 - \lg 25 - \lg 4 = )__。
已知 ( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5} )，且 ( 0 < \alpha < \pi )，则 ( \tan \alpha = )__。
已知函数 ( f(x) = \ln(\sqrt{1+x^{2}} - x) + 3 )，则 ( f(\lg 2) + f(\lg \frac{1}{2}) = )__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知全集 ( U = \mathbf{R} )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( (C_{U} A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = B )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的最大值和最小值。
（15分）已知 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（17分）近年来，某企业每年需要向河流中处理一定量的污水，为保护环境，该企业决定建造一个污水处理池，已知污水处理池的底面是面积为 ( 256 \, \text{m}^{2} ) 的矩形，深度为 ( 3 \, \text{m} )，已知池外壁的建造单价为每平方米 ( 400 ) 元，中间一条隔壁（将水池分成两个无盖长方体）的建造单价为每平方米 ( 100 ) 元，池底建造单价为每平方米 ( 150 ) 元。 （1）若污水处理池的长为 ( x ) 米，试将污水处理池的总造价 ( y ) （元）表示为 ( x ) 的函数； （2）当污水处理池的长为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价。
（17分）已知函数 ( f(x) = \log{a} (1 - x) + \log{a} (x + 3) ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域，并判断其奇偶性； （2）若函数 ( f(x) ) 的最小值为 ( -2 )，求实数 ( a ) 的值； （3）在（2）的条件下，若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) = m ) 在区间 ( [-2, 0] ) 上有解，求实数 ( m ) 的取值范围。
2025年高一上学期数学期末测试卷（电子版参考）参考答案及评分标准
选择题
A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. B 7. B 8. B
多选题9. AB 10. ABC 11. ABD
填空题12. ( \frac{7}{2} ) （或 3.5） 13. ( -\frac{4}{3} ) 14. 6
解答题15. （13分） 解：（1）( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )； …………3分 ( C{U} A = { x | x < 3 \text{ 或 } x \geq 7 } )， ( (C{U} A) \cap B = { x | 4 < x \leq 10 \text{ 且 } (x < 3 \text{ 或 } x \geq 7) } = { x | 7 \leq x \leq 10 } )。 …………6分 （2）因为 ( B \cap C = B )，( B \subseteq C )。 …………9分 又 ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )， ( C = { x | x > a } )， ( a \leq 4 )。 …………12分 故实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 4] )。 …………13分
（15分） 解：（1）函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上单调递增。 …………2分 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [2, 5] )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1 - 1}{x_1 + 1} - \frac{2x_2 - 1}{x_2 + 1} = \frac{(2x_1 - 1)(x_2 + 1) - (2x_2 - 1)(x_1 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} ) ( = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} )。 …………6分 因为 ( x_1, x_2 \in [2, 5] )，且 ( x_1 < x_2 )，( x_1 + 1 > 0 )， ( x_2 + 1 > 0 )， ( x_1 - x_2 < 0 )。 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。 所以函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上单调递增。 …………8分 （2）由（1）知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递增， 所以当 ( x = 2 ) 时，( f(x) ) 取得最小值，最小值为 ( f(2) = \frac{2 \times 2 - 1}{2 + 1} = 1 )； …………11分 当 ( x = 5 ) 时，( f(x) ) 取得最大值，最大值为 ( f(5) = \frac{2 \times 5 - 1}{5 + 1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} )。 …………14分 故函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的最大值为 ( \frac{3}{2} )，最小值为 ( 1 )。 …………15分
（15分） 解：（1）( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} (2\cos^{2} x - 1) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x ) ( = 2(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )。 …………4分 所以函数 ( f(x) ) 的最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。 …………6分 令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbf{Z} )， 解得 ( -\frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{12} + k\pi, \, k \in \mathbf{Z} )。 所以函数 ( f(x) ) 的单调递增区间为 ( [-\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{\pi}{12} + k\pi], \, k \in \mathbf{Z} )。 …………9分 （2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{3} \in [0, \pi] )。 …………11分 ( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \in [0, 1] )。 …………13分 ( f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) \in [0, 2] )。 故函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 上的值域为 ( [0, 2] )。 …………15分
（17分） 解：（1）由题意，水池的宽为 ( \frac{256}{x} ) 米。 …………2分 池外壁（四个侧面）的面积为 ( 2 \times 3 \times (x + \frac{256}{x}) = 6(x + \frac{256}{x}) ) 平方米。 中间隔壁的面积为 ( 3 \times \frac{256}{x} = \frac{768}{x} ) 平方米。 池底的面积为 ( 256 ) 平方米。 …………6分 所以总造价 ( y = 400 \times 6(x + \frac{256}{x}) + 100 \times \frac{768}{x} + 150 \times 256 ) ( = 2400x + \frac{960000}{x} + 38400 ) （元）， ( (x > 0) )。 …………9分 （2）由（1）得，( y = 2400x + \frac{960000}{x} + 38400 \geq 2\sqrt{2400x \cdot \frac{960000}{x}} + 38400 ) ( = 2 \times 48000 + 38400 = 96000 + 38400 = 134400 ) （元）。 …………13分 当且仅当 ( 2400x = \frac{960000}{x} )，即 ( x^{2} = 400 )， ( x = 20 ) （米）时，等号成立。 …………16分 所以当污水处理池的长为 20 米时，总造价最低，最低总造价为 134400 元。 …………17分
（17分） 解：（1）由 ( \begin{cases} 1 - x > 0 \ x + 3 > 0 \end{cases} )，解得 ( -3 < x < 1 )。 所以函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( (-3, 1) )。 …………3分 因为定义域关于原点不对称，所以函数 ( f(x) ) 既不是奇函数也不是偶函数。 …………5分 （