- 本试卷满分150分,考试时间120分钟。
- 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 } )，( B = { x \mid 1 < x < 4 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( (1, 2] ) \quad B. ( [1, 2] ) \quad C. ( (1, 4) ) \quad D. ( [2, 4) )
若复数 ( z ) 满足 ( (1 + i)z = 3 - i )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的共轭复数 ( \overline{z} = )（ ） A. ( 1 - 2i ) \quad B. ( 1 + 2i ) \quad C. ( 2 - i ) \quad D. ( 2 + i )
已知向量 ( \vec{a} = (2, 1) )，( \vec{b} = (-1, 3) )，若 ( (\vec{a} + k\vec{b}) \perp \vec{b} )，则实数 ( k = )（ ） A. ( -\frac{1}{2} ) \quad B. ( \frac{1}{2} ) \quad C. ( -2 ) \quad D. ( 2 )
函数 ( f(x) = \frac{\ln|x|}{x} ) 的图象大致为（ ） A. \quad B. \quad C. \quad D. （此处原为图像选项，略）
已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( 3\cos 2\alpha - 4\cos \alpha + 1 = 0 )，则 ( \sin 2\alpha = )（ ） A. ( \frac{4\sqrt{5}}{9} ) \quad B. ( -\frac{4\sqrt{5}}{9} ) \quad C. ( \frac{8\sqrt{5}}{9} ) \quad D. ( -\frac{8\sqrt{5}}{9} )
已知等差数列 ( { a_n } ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( S_9 = )（ ） A. 45 \quad B. 50 \quad C. 55 \quad D. 60
已知直线 ( l: x - y + 2 = 0 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 )，则圆 ( C ) 上到直线 ( l ) 距离为 ( \sqrt{2} ) 的点共有（ ） A. 1个 \quad B. 2个 \quad C. 3个 \quad D. 4个
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \ -x^2 + 2x + a, & x > 0 \end{cases} ) 有最小值，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( [0, +\infty) ) \quad B. ( (-1, +\infty) ) \quad C. ( [1, +\infty) ) \quad D. ( [0, 1] )
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
下列命题中,正确的是（ ） A. 若 ( a > b > 0 )，则 ( a^3 > b^3 ) B. 若 ( a > b > 0 )，则 ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) C. 若 ( a > b )，( c > d )，则 ( a + c > b + d ) D. 若 ( a > b )，( c > d )，则 ( ac > bd )
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则（ ） （此处应有图像，略） A. ( \omega = 2 ) B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} ) C. 函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}] ) 上单调递增 D. 将函数 ( f(x) ) 的图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位长度后，得到的图象关于原点对称
如图,在棱长为2的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，( E, F, G ) 分别为棱 ( BC, CC_1, BB_1 ) 的中点，则（ ） （此处应有图像，略） A. ( D_1G \parallel ) 平面 ( AEF ) B. 平面 ( AEF ) 截正方体所得截面的面积为 ( \frac{9}{2} ) C. 点 ( C_1 ) 到平面 ( AEF ) 的距离为 ( \frac{4}{3} ) D. 直线 ( AG ) 与平面 ( AEF ) 所成角的正弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{9} )
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
已知 ( (x + \frac{a}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中常数项为60，则实数 ( a = )__。
已知抛物线 ( C: y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线 ( l ) 与 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，若 ( |AF| = 3|BF| )，则 ( |AB| = )__。
已知函数 ( f(x) = e^{x-1} - a\ln x + x - 1 ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的最大值为__。
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分） 在 ( \triangle ABC ) 中，角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A )。 （1）求角 ( A ) 的大小； （2）若 ( a = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{3} )，求 ( \triangle ABC ) 的周长。
（15分） 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的菱形，( \angle BAD = 60^\circ )，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = 2\sqrt{3} )，( E ) 为 ( PC ) 的中点。 （1）证明：( BD \perp ) 平面 ( PAC )； （2）求二面角 ( B-AE-C ) 的正弦值。
（15分） 已知数列 ( { a_n } ) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = \begin{cases} a_n + 2, & n \text{为奇数} \ 2a_n, & n \text{为偶数} \end{cases} )。 （1）记 ( bn = a{2n-1} )，证明：数列 ( { b_n } ) 为等比数列； （2）求数列 ( { an } ) 的前 ( 2n ) 项和 ( S{2n} )。
（17分） 已知椭圆 ( E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。 （1）求椭圆 ( E ) 的标准方程； （2）设过点 ( P(1, 0) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( E ) 交于 ( M, N ) 两点，点 ( Q ) 满足 ( \overrightarrow{QM} = -\overrightarrow{QN} )，证明：点 ( Q ) 在一条定直线上。
（17分） 已知函数 ( f(x) = \ln x - ax + 1 )。 （1）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （2）若 ( f(x) \leq xe^{x-1} - 1 ) 对任意 ( x \in (0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
（试卷结束）
（以下为参考答案及评分标准）
2025年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷（高中教材版）参考答案
选择题
A \quad 2. A \quad 3. B \quad 4. D \quad 5. A \quad 6. A \quad 7. C \quad 8. C
多选题9. ABC \quad 10. ABD \quad 11. BCD
填空题12. ( \pm 1 ) \quad 13. ( \frac{16}{3} ) \quad 14. ( e )
解答题15. （13分）解：（1）由正弦定理及 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A ) 得： ( \sin B \cos C + \sin C \cos B = 2 \sin A \cos A )， 即 ( \sin(B+C) = \sin A = 2 \sin A \cos A )。 因为 ( \sin A \neq 0 )，( \cos A = \frac{1}{2} )。 又 ( A \in (0, \pi) )，故 ( A = \frac{\pi}{3} )。 \hfill （6分）
（2）由 ( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} bc \sin A = \sqrt{3} ) 及 ( A = \frac{\pi}{3} ) 得：( bc = 4 )。 由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A ) 得： ( 12 = b^2 + c^2 - 4 )，即 ( b^2 + c^2 = 16 )。 ( (b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 16 + 8 = 24 )，故 ( b+c = 2\sqrt{6} )。 ( \triangle ABC ) 的周长为 ( a + b + c = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6} )。 \hfill （13分）
（15分）（1）证明：连接 ( AC )。 ∵ 底面 ( ABCD ) 是菱形，∴ ( BD \perp AC )。 ∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，∴ ( PA \perp BD )。 又 ( PA \cap AC = A )，∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )。 \hfill （5分）（2）解：以 ( A ) 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系。 （坐标及法向量求解过程略，关键步骤：求平面 ( ABE ) 与平面 ( ACE ) 的法向量） 计算得二面角 ( B-AE-C ) 的余弦值为 ( \frac{\sqrt{15}}{5} )，故其正弦值为 ( \frac{\sqrt{10}}{5} )。 \hfill （15分）
（15分）（1）证明：当 ( n ) 为奇数时，( a_{n+1} = an + 2 )；当 ( n ) 为偶数时，( a{n+1} = 2an )。 则 ( b{n+1} = a{2n+1} = a{2n} + 2 = 2a_{2n-1} + 2 = 2bn + 2 )。 ( b{n+1} + 2 = 2(b_n + 2) )。 又 ( b_1 = a_1 = 1 )，( b_1 + 2 = 3 \neq 0 )， 故数列 ( { b_n + 2 } ) 是以3为首项，2为公比的等比数列， 即数列 ( { b_n } ) 满足递推关系，可证为等比数列形式（具体略）。 \hfill （7分）（2）解：由（1）得 ( b_n + 2 = 3 \cdot 2^{n-1} )，故 ( bn = 3 \cdot 2^{n-1} - 2 )。 即 ( a{2n-1} = 3 \cdot 2^{n-1} - 2 )。 又 ( a{2n} = 2a{2n-1} = 3 \cdot 2^n - 4 )。 ( S_{2n} = (a_1 + a3 + \cdots + a{2n-1}) + (a_2 + a4 + \cdots + a{2n}) ) ( = \sum{k=1}^{n} (3 \cdot 2^{k-1} - 2) + \sum{k=1}^{n} (3 \cdot 2^k - 4) ) ( = 3(2^n - 1) - 2n + 3(2^{n+1} - 2) - 4n ) ( = 9 \cdot 2^n - 6n - 9 )。 \hfill （15分）
（17分）解：（1）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ) 得 ( a = 2c )，( b^2 = a^2 - c^2 = 3c^2 )。 将点 ( (1, \frac{3}{2}) ) 代入椭圆方程得 ( \frac{1}{4c^2} + \frac{9}{4 \cdot 3c^2} = 1 )，解得 ( c^2 = 1 )。 故 ( a^2 = 4 )，( b^2 = 3 )。 椭圆 ( E ) 的标准方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。 \hfill （5分） （2）设 ( M(x_1, y_1) )，( N(x_2, y_2) )，( Q(x_Q, y_Q) )。 由 ( \overrightarrow{QM} = -\overrightarrow{QN} ) 知，( Q ) 为 ( MN ) 的中点，即 ( x_Q = \frac{x_1+x_2}{2} )，( y_Q = \frac{y_1+y_2}{2} )。 当直线 ( l ) 斜率存在时，设其方程为 ( y = k(x-1) )。 联立椭圆方程得 ( (3+4k^2)x^2 - 8k^2x + 4k^2 - 12 = 0 )。 则 ( x_1+x_2 = \frac{8k^2}{3+4k^2} )，故 ( x_Q = \frac{4k^2}{3+4k^2} )。 又 ( y_Q = k(x_Q - 1) = k(\frac{4k^2}{3+4k^2} - 1) = -\frac{3k}{3+4k^2} )。 消去 ( k ) 得 ( 3x_Q + 4y_Q = 0 )，即 ( y_Q = -\frac{3}{4}x_Q )。 当直线 ( l ) 斜率不存在时，( M(1, \frac{3}{2}) )，( N(1, -\frac{3}{2}) )，中点 ( Q(1, 0) ) 满足 ( y_Q = -\frac{3}{4}x_Q )。 故点 ( Q ) 在定直线 ( y = -\frac{3}{4}x ) 上。 \hfill （17分）
（17分）解：（1）( f'(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1 - ax}{x} )，( (x > 0) )。 当 ( a \leq 0 ) 时，( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 单调递增。 当 ( a