选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } ) B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } ) C. ( { x \mid 0 < x \leq 3 } ) D. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } )
复数 ( z = \frac{2-i}{1+i} )（( i ) 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (-3, 1) )，则 ( \vec{a} ) 在 ( \vec{b} ) 方向上的投影向量为（ ） A. ( \left( -\frac{3}{10}, \frac{1}{10} \right) ) B. ( \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) ) C. ( \left( -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) ) D. ( \left( \frac{3}{10}, -\frac{1}{10} \right) )
已知函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在区间为（ ） A. ( (0, 1) ) B. ( (1, 2) ) C. ( (2, 3) ) D. ( (3, 4) )
已知等差数列 ({ a_n }) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( S_9 = )（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
已知角 ( \theta ) 的终边经过点 ( P(4, -3) )，则 ( \sin 2\theta = )（ ） A. ( -\frac{12}{25} ) B. ( -\frac{24}{25} ) C. ( \frac{12}{25} ) D. ( \frac{24}{25} )
已知直线 ( l_1: ax + 2y + 1 = 0 ) 与直线 ( l_2: x + (a-1)y + 2 = 0 ) 平行，则实数 ( a ) 的值为（ ） A. -1 B. 2 C. -1 或 2 D. 1 或 -2
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的一条渐近线方程为 ( y = \frac{3}{4}x )，且焦距为 10，则该双曲线的标准方程为（ ） A. ( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 ) B. ( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 ) C. ( \frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1 ) D. ( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 + 1 ) B. ( y = |x| + \frac{1}{|x|} ) C. ( y = \cos x ) D. ( y = 2^{|x|} )
已知 ( a > 0 )，( b > 0 )，且 ( a + b = 2 )，则下列不等式恒成立的是（ ） A. ( ab \leq 1 ) B. ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 ) C. ( a^2 + b^2 \geq 2 ) D. ( \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2 )
如图，在正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，点 ( E, F, G ) 分别为棱 ( AB, BC, BB_1 ) 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. ( A_1C \perp ) 平面 ( EFG ) B. 平面 ( EFG \parallel ) 平面 ( ACD_1 ) C. 异面直线 ( D_1G ) 与 ( EF ) 所成角的余弦值为 ( \frac{\sqrt{10}}{5} ) D. 点 ( B_1 ) 到平面 ( EFG ) 的距离等于点 ( D ) 到平面 ( EFG ) 的距离
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^n ) 的展开式中第5项为常数项，则展开式中二项式系数最大的项为__。
已知抛物线 ( y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线交抛物线于 ( A, B ) 两点，若 ( |AF| = 3 )，则 ( |BF| = )__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \ -x^2 + 2x + a, & x > 0 \end{cases} ) 有最小值，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，且 ( \sqrt{3}a \cos B = b \sin A )。 （1）求角 ( B ) 的大小； （2）若 ( b = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( 3\sqrt{3} )，求 ( a + c ) 的值。
（15分）已知数列 ({ a_n }) 的前 ( n ) 项和 ( S_n = 2n^2 - n )，数列 ({ b_n }) 满足 ( b1 = 1 )，( b{n+1} = 2b_n + 1 )。 （1）求数列 ({ a_n })，({ b_n }) 的通项公式； （2）设 ( c_n = \frac{a_n}{b_n} )，求数列 ({ c_n }) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（15分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，点 ( E ) 为线段 ( PD ) 的中点。 （1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )； （2）求平面 ( AEC ) 与平面 ( PCD ) 所成锐二面角的余弦值。
（17分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。 （1）求椭圆 ( C ) 的标准方程； （2）设过点 ( P(2, 1) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( C ) 相交于 ( M, N ) 两点，且点 ( P ) 为线段 ( MN ) 的中点，求直线 ( l ) 的方程。
（17分）已知函数 ( f(x) = x \ln x - ax^2 + x (a \in \mathbb{R}) )。 （1）若 ( a = 0 )，求曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程； （2）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （3）当 ( a = \frac{1}{2} ) 时，证明：( f(x) \leq x - 1 )。
参考答案
选择题
A 2. D 3. A 4. B 5. A 6. B 7. B 8. A
多选题 9. AD 10. ABC 11. BCD
填空题 12. ( 1120x^{-2} )（或写为 ( \frac{1120}{x^2} )） 13. ( \frac{3}{2} ) 14. ( [0, +\infty) )（或写为 ( a \geq 0 )）
解答题 15. （1）由正弦定理及已知得 ( \sqrt{3} \sin A \cos B = \sin B \sin A )， ∵ ( \sin A \neq 0 )，∴ ( \sqrt{3} \cos B = \sin B )，即 ( \tan B = \sqrt{3} )， ∵ ( 0 < B < \pi )，∴ ( B = \frac{\pi}{3} )。 （2）由面积公式 ( S = \frac{1}{2}ac \sin B = 3\sqrt{3} ) 得 ( ac = 12 )。 由余弦定理 ( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B ) 得 ( 12 = a^2 + c^2 - 12 )， 即 ( a^2 + c^2 = 24 )，∴ ( (a+c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac = 48 )， 故 ( a + c = 4\sqrt{3} )。
（1）当 ( n=1 ) 时，( a_1 = S_1 = 1 )； 当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2n^2 - n) - [2(n-1)^2 - (n-1)] = 4n - 3 )， 当 ( n=1 ) 时也成立，∴ ( an = 4n - 3 )。 由 ( b{n+1} = 2bn + 1 ) 得 ( b{n+1} + 1 = 2(b_n + 1) )， 又 ( b_1 + 1 = 2 )，∴ ({ b_n + 1 }) 是首项为2、公比为2的等比数列， ∴ ( b_n + 1 = 2^n )，即 ( b_n = 2^n - 1 )。 （2）( c_n = \frac{4n-3}{2^n - 1} )， ( T_n = \frac{1}{1} + \frac{5}{3} + \frac{9}{7} + \cdots + \frac{4n-3}{2^n - 1} )， 采用错位相减法（过程略）可得 ( T_n = 4 - \frac{4n+1}{2^n - 1} )。
（1）连接 ( BD ) 交 ( AC ) 于点 ( O )，连接 ( OE )。 ∵ ( ABCD ) 为矩形，∴ ( O ) 为 ( BD ) 中点，又 ( E ) 为 ( PD ) 中点， ∴ ( OE \parallel PB )，又 ( OE \subset ) 平面 ( AEC )，( PB \not\subset ) 平面 ( AEC )， ∴ ( PB \parallel ) 平面 ( AEC )。 （2）以 ( A ) 为原点，( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AP} ) 分别为 ( x, y, z ) 轴建立空间直角坐标系。 ( A(0,0,0), C(1,2,0), E(0,1,1), D(0,2,0), P(0,0,2) )。 平面 ( AEC ) 的法向量 ( \vec{n_1} = (2, -1, 1) )， 平面 ( PCD ) 的法向量 ( \vec{n_2} = (2, 1, 1) )， ( \cos \langle \vec{n_1}, \vec{n_2} \rangle = \frac{4-1+1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} )， 故所求锐二面角的余弦值为 ( \frac{2}{3} )。
（1）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ) 得 ( a = 2c )，又 ( a^2 = b^2 + c^2 )，∴ ( b^2 = 3c^2 )。 椭圆过点 ( (1, \frac{3}{2}) ) 得 ( \frac{1}{4c^2} + \frac{9}{4 \cdot 3c^2} = 1 )，解得 ( c^2 = 1 )， ∴ ( a^2 = 4 )，( b^2 = 3 )，椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。 （2）设 ( M(x_1, y_1), N(x_2, y_2) )，则 ( x_1 + x_2 = 4 )，( y_1 + y_2 = 2 )。 将 ( M, N ) 坐标代入椭圆方程并相减得： ( \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{4} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{3} = 0 )， 即 ( \frac{4}{4}(x_1 - x_2) + \frac{2}{3}(y_1 - y2) = 0 )， ∴ ( k{MN} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{3}{2} )， 故直线 ( l ) 方程为 ( y - 1 = -\frac{3}{2}(x - 2) )，即 ( 3x + 2y - 8 = 0 )。
（1）当 ( a = 0 ) 时，( f(x) = x \ln x + x )，( f'(x) = \ln x + 2 )， ( f(1) = 1 )，( f'(1) = 2 )， 切线方程为 ( y - 1 = 2(x - 1) )，即 ( y = 2x - 1 )。 （2）( f'(x) = \ln x + 2 - 2ax )， 令 ( g(x) = \ln x + 2 - 2ax )，则 ( g'(x) = \frac{1}{x} - 2a )。 ① 当 ( a \leq 0 ) 时，( g'(x) > 0 )，( f'(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 单调递增， 且 ( f'(1) = 2 - 2a > 0 )，当 ( x \to 0^+ ) 时 ( f'(x) \to -\infty )， 故存在唯一 ( x_0 \in (0,1) ) 使 ( f'(x_0)=0 )， ∴ ( f(x) ) 在 ( (0, x_0) ) 递减，在 ( (x_0, +\infty) ) 递增。 ② 当 ( a > 0 ) 时，令 ( g'(x)=0 ) 得 ( x = \frac{1}{2a} )， 若 ( 0 < x < \frac{1}{2a} )，( g'(x) > 0 )；若 ( x > \frac{1}{2a} )，( g'(x) < 0 )， 即 ( f'(x) ) 在 ( (0, \frac{1}{2a}) ) 递增，在 ( (\frac{1}{2a}, +\infty) ) 递减。 ( f'(\frac{1}{2a}) = \ln \frac{1}{2a} + 2 - 1 = 1 - \ln(2a) )。 （i）当 ( 0 < a < \frac{e}{2} ) 时，( f'(\frac{1}{2a}) > 0 )