（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x | x^2 - 3x + 2 = 0 } )， ( B = { 1, 2, 3 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {1, 2} ) \quad C. ( {2, 3} ) \quad D. ( {1, 2, 3} )
命题“ ( \forall x > 0, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, x + \frac{1}{x} < 2 ) \quad B. ( \forall x \leq 0, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) C. ( \exists x > 0, x + \frac{1}{x} < 2 ) \quad D. ( \exists x \leq 0, x + \frac{1}{x} \geq 2 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [1, +\infty) ) \quad B. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad C. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( [1, 3) )
已知 ( a > b > 0 )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 < b^2 ) \quad B. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ) \quad C. ( 2^a < 2^b ) \quad D. ( \ln(a-b) > 0 )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{2} )， ( c = \log_{0.3} 2 )，则三者大小关系为（ ） A. ( c < b < a ) \quad B. ( b < c < a ) \quad C. ( a < b < c ) \quad D. ( c < a < b )
函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 3) ) 的单调递增区间是（ ） A. ( (-\infty, -1) ) \quad B. ( (-\infty, 1) ) \quad C. ( (1, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
若 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \tan \alpha = )（ ） A. ( \frac{4}{3} ) \quad B. ( -\frac{4}{3} ) \quad C. ( \frac{3}{4} ) \quad D. ( -\frac{3}{4} )
为了得到函数 ( y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) ) 的图象，只需将函数 ( y = \sin 2x ) 的图象（ ） A. 向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 \quad B. 向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 C. 向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位 \quad D. 向右平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位
已知 ( x > 0, y > 0 )，且 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 )，则 ( x + y ) 的最小值为（ ） A. 8 \quad B. ( 3 + 2\sqrt{2} ) \quad C. ( 4\sqrt{2} ) \quad D. 9
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( R ) 上的奇函数，当 ( x \geq 0 ) 时， ( f(x) = 2^x + x - 1 )，则不等式 ( f(x) < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-\infty, -1) ) \quad B. ( (-\infty, 0) ) \quad C. ( (-1, 0) ) \quad D. ( (0, 1) )
设函数 ( f(x) = |\ln x| )，若 ( 0 < a < b )，且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是（ ） A. ( (2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad B. ( [2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad C. ( (3, +\infty) ) \quad D. ( [3, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
计算： ( (\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}} + \lg 4 + \lg 25 = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
已知 ( \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{5} )， ( \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，则 ( \cos \alpha = )__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \leq 2 \ \log_a x, & x > 2 \end{cases} ) 在 ( R ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知全集 ( U = R )，集合 ( A = { x | \frac{x-2}{x+1} \leq 0 } )， ( B = { x | 2m - 1 < x < m + 1 } )。 （1）若 ( m = 1 )，求 ( A \cup B )； （2）若“ ( x \in A ) ”是“ ( x \in B ) ”的充分不必要条件，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知 ( f(\alpha) = \frac{\sin(\pi - \alpha) \cos(2\pi - \alpha) \tan(-\alpha + \pi)}{\tan(\alpha + \pi) \sin(-\alpha - \pi)} )。 （1）化简 ( f(\alpha) )； （2）若 ( \alpha ) 是第三象限角，且 ( \cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{5} )，求 ( f(\alpha) ) 的值。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (2x-1) )（ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）的图象过点 ( (1, 0) )。 （1）求实数 ( a ) 的值及函数 ( f(x) ) 的定义域； （2）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并说明理由； （3）解关于 ( x ) 的不等式 ( f(x) < 1 )。
（12分）已知函数 ( f(x) = 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和最大值； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上的单调递增区间。
（12分）近年来，某企业每年消耗的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 ( C )（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 ( x )（单位：平方米）之间的函数关系是 ( C(x) = \frac{k}{20x+100} )（ ( x \geq 0 )， ( k ) 为常数），记 ( F ) 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和。 （1）试解释 ( C(0) ) 的实际意义，并建立 ( F ) ( x ) 的函数关系式； （2）当 ( x ) 为多少平方米时， ( F ) 取得最小值？最小值是多少万元？
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^{x+1} + a} ) 是定义在 ( R ) 上的奇函数。 （1）求实数 ( a, b ) 的值； （2）判断并证明函数 ( f(x) ) 在 ( R ) 上的单调性； （3）若存在实数 ( t )，使得 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) \leq 0 ) 成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
2025年高一数学上学期综合测试卷参考答案
选择题
B \quad 2. C \quad 3. B \quad 4. D \quad 5. C \quad 6. A \quad 7. D \quad 8. B \quad 9. B \quad 10. B \quad 11. C \quad 12. C
填空题13. ( \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4} )（或4.25） \quad 14. 1 \quad 15. ( -\frac{\sqrt{2}}{10} ) \quad 16. ( (1, \sqrt{2}] )
解答题
解： （1）解不等式 ( \frac{x-2}{x+1} \leq 0 )，得 ( -1 < x \leq 2 )，即 ( A = (-1, 2] )。 当 ( m = 1 ) 时， ( B = (1, 2) )。 ( A \cup B = (-1, 2] )。 （2）因为“ ( x \in A ) ”是“ ( x \in B ) ”的充分不必要条件，( A \subsetneq B )。 即集合 ( A ) 是集合 ( B ) 的真子集。 则 ( \begin{cases} 2m - 1 \leq -1 \ m + 1 > 2 \end{cases} )（等号不能同时成立）或 ( \begin{cases} 2m - 1 < -1 \ m + 1 \geq 2 \end{cases} )。 解得 ( m \leq 0 ) 且 ( m > 1 )（无解）或 ( m < 0 ) 且 ( m \geq 1 )（无解）。 故满足条件的实数 ( m ) 不存在。
解： （1）( f(\alpha) = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot (-\tan \alpha)}{\tan \alpha \cdot [-\sin(\alpha + \pi)]} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha \tan \alpha}{\tan \alpha \sin \alpha} = \cos \alpha )。 （2）因为 ( \cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha = \frac{1}{5} )，( \sin \alpha = -\frac{1}{5} )。 又 ( \alpha ) 是第三象限角，( \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{2\sqrt{6}}{5} )。 ( f(\alpha) = \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5} )。
解： （1）由题意， ( f(1) = \log_a (2 \times 1 - 1) = \log_a 1 = 0 )，恒成立，无法确定 ( a )。 但由函数解析式有意义，需 ( 2x - 1 > 0 )，解得 ( x > \frac{1}{2} )。 所以函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( (\frac{1}{2}, +\infty) )。 （注：原题条件“图象过点(1,0)”对任意 ( a>0, a\neq1 ) 均成立，故 ( a ) 为任意满足条件的正数且不等于1，通常此类题会给出另一个点来确定 ( a )，此处按定义域问题处理。） （2）由（1）知定义域不关于原点对称，故函数 ( f(x) ) 是非奇非偶函数。 （3）不等式 ( f(x) < 1 ) 即 ( \log_a (2x-1) < 1 = \log_a a )。 当 ( a > 1 ) 时， ( \begin{cases} 2x-1 > 0 \ 2x-1 < a \end{cases} )，解得 ( \frac{1}{2} < x < \frac{a+1}{2} )。 当 ( 0 < a < 1 ) 时， ( \begin{cases} 2x-1 > 0 \ 2x-1 > a \end{cases} )，解得 ( x > \frac{a+1}{2} )。 综上，当 ( a > 1 ) 时，解集为 ( (\frac{1}{2}, \frac{a+1}{2}) )；当 ( 0 < a < 1 ) 时，解集为 ( (\frac{a+1}{2}, +\infty) )。
解： （1）( f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) )。 所以最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )，最大值为2。 （2）令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in Z )， 解得 ( -\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in Z )。 当 ( k=0 ) 时，单调递增区间为 ( [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}] )。 结合 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] )，得函数在给定区间上的单调递增区间为 ( [0, \frac{\pi}{6}] )。
解： （1）( C(0) ) 表示未安装太阳能电池板时，即该企业每年消耗的电费为 ( \frac{k}{100} ) 万元。 由题意， ( C(0) = \frac{k}{100} = 24 )，解得 ( k = 2400 )。 安装费用为 ( 0.5x ) 万元。 15年所消耗的电费之和为 ( 15 \times C(x) = 15 \times \frac{2400}{20x+100} = \frac{36000}{20x+100} = \frac{1800}{x+5} )。 ( F = 0.5x + \frac{1800}{x+5} \quad (x \geq 0) )。 （2）由（1）， ( F = 0.5(x+5) + \frac{1800}{x+5} - 2.5 )。 因为 ( x \geq 0 )，( x+5 \geq 5 > 0 )。 ( 0.5(x+5) + \frac{1800}{x+5} \geq 2\sqrt{0.5(x+5) \cdot \frac{1800}{x+5}} = 2\sqrt{900} = 60 )。 当且仅当 ( 0.5(x+5) = \frac{1800}{x+5} )，即 ( (x+5)^2 = 3600 )，解得 ( x = 55 )（舍去负值）时，等号成立。 ( F_{min} = 60 - 2.5 = 57.5 )（万元）。 答：当安装 ( 55 ) 平方米太阳能电池板时， ( F ) 取得最小值57.5万元。
解： （1）因为 ( f(x) ) 是 ( R ) 上的奇函数，( f(0) = 0 )。 即 ( \frac{b-1}{2+a} = 0 )，解得 ( b = 1 )。 又 ( f(-x