- 本试卷共三大题，满分120分,考试时间100分钟。
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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3, 4, 8 B. 5, 6, 11 C. 5, 6, 10 D. 2, 3, 6
点 ( P(-3, 2) ) ( x ) 轴对称的点的坐标是（ ） A. ( (3, 2) ) B. ( (-3, -2) ) C. ( (3, -2) ) D. ( (-3, 2) )
若一个多边形的内角和是 ( 1080^\circ )，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
下列计算正确的是（ ） A. ( a^2 \cdot a^3 = a^6 ) B. ( (a^2)^3 = a^5 ) C. ( a^8 \div a^2 = a^4 ) D. ( (ab)^2 = a^2b^2 )
如图，已知 ( \triangle ABC \cong \triangle DEF )，( \angle A = 50^\circ )，( \angle E = 70^\circ )，则 ( \angle F ) 的度数为（ ） A. ( 50^\circ ) B. ( 60^\circ ) C. ( 70^\circ ) D. ( 80^\circ )
将分式 ( \frac{2x}{x+y} ) 中的 ( x )，( y ) 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 ( \frac{1}{2} )
下列分式中，是最简分式的是（ ） A. ( \frac{2x}{4x^2} ) B. ( \frac{x-1}{x^2-1} ) C. ( \frac{x^2+y^2}{x+y} ) D. ( \frac{x^2-1}{x+1} )
如图，在 ( \triangle ABC ) 中，( AB = AC )，( AD ) 是边 ( BC ) 上的高，若 ( BC = 6 )，则 ( BD ) 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
已知 ( x^2 - kx + 9 ) 是一个完全平方式，则常数 ( k ) 的值为（ ） A. 6 B. -6 C. ( \pm 6 ) D. ( \pm 9 )
某工程队准备修建一条长 ( 1200m ) 的管道，由于采用新的施工技术，实际每天修建管道的长度比原计划增加 ( 25\% )，结果提前 ( 2 ) 天完成任务，若设原计划每天修建 ( x\ m )，则可列方程为（ ） A. ( \frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+25\%)x} = 2 ) B. ( \frac{1200}{(1-25\%)x} - \frac{1200}{x} = 2 ) C. ( \frac{1200}{x} - \frac{1200}{1.25x} = 2 ) D. ( \frac{1200}{1.25x} - \frac{1200}{x} = 2 )
填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
使分式 ( \frac{1}{x-5} ) 有意义的 ( x ) 的取值范围是__。
因式分解：( 2x^2 - 8 = )__。
等腰三角形的一个底角为 ( 40^\circ )，则它的顶角为__度。
计算：( (2a^2b)^3 \div 4a^3b^2 = )__。
如图，在 ( \triangle ABC ) 中，( \angle C = 90^\circ )，( AD ) 平分 ( \angle BAC )，交 ( BC ) 于点 ( D )，若 ( CD = 3 )，( AB = 10 )，则 ( \triangle ABD ) 的面积为__。
观察下列等式： ( 1 \times 3 + 1 = 4 = 2^2 )， ( 2 \times 4 + 1 = 9 = 3^2 )， ( 3 \times 5 + 1 = 16 = 4^2 )， …… 请用含正整数 ( n ) 的等式表示你所发现的规律：__。
解答题（本大题共7小题，共66分）
（10分）计算与化简： （1）( (x+2)(x-3) - (x-1)^2 ) （2）( \frac{x}{x-3} - \frac{3}{x+3} )
（8分）先化简，再求值：( \left( \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{x-1}{x^2-4x+4} \right) \div \frac{x-4}{x} )，( x = 5 )。
（8分）如图，点 ( B )，( F )，( C )，( E ) 在同一条直线上，( AB = DE )，( AB \parallel DE )，( BF = EC )。 求证：( \triangle ABC \cong \triangle DEF )。
（10分）如图，在平面直角坐标系 ( xOy ) 中，( \triangle ABC ) 的顶点坐标分别为 ( A(-2, 3) )，( B(-4, -1) )，( C(1, 1) )。 （1）画出 ( \triangle ABC ) ( y ) 轴对称的图形 ( \triangle A_1B_1C_1 )，并写出点 ( A_1 )，( B_1 )，( C_1 ) 的坐标； （2）求出 ( \triangle ABC ) 的面积。
（10分）某校为美化校园，计划在面积为 ( 100m^2 ) 的正方形空地上修建一个长方形花坛，已知花坛的长比宽多 ( 5m )，且花坛四周留有宽度相等的走道用于通行，若走道的总面积是 ( 36m^2 ),求走道的宽度。
（10分）已知：如图，在 ( \triangle ABC ) 中，( AB = AC )，( D ) 是 ( BC ) 延长线上一点，( E ) 是 ( AC ) 上一点，且 ( BD = CE )，连接 ( DE ) 交 ( AB ) 于点 ( F )。 （1）过点 ( E ) 作 ( EG \parallel AB ) 交 ( BC ) 于点 ( G )，求证：( \triangle BDF \cong \triangle GEF )； （2）若 ( AB = 10 )，( BC = 12 )，求 ( AF ) 的长。
（10分）【问题背景】完全平方公式 ( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 ) 是多项式乘法中的重要公式，利用它可以将形如 ( a^2 \pm 2ab + b^2 ) 的式子进行因式分解。 【知识迁移】对于二次三项式 ( ax^2 + bx + c )（( a \neq 0 )），如果它能写成 ( (mx + n)^2 + p ) 的形式，也能进行类似的处理。 【解决问题】 （1）尝试：将 ( x^2 + 6x + 5 ) 写成 ( (x + m)^2 + n ) 的形式，并求出其最小值； （2）应用：已知 ( a )，( b )，( c ) 是 ( \triangle ABC ) 的三边长，且满足 ( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 )，请判断 ( \triangle ABC ) 的形状,并说明理由。
2025年秋季学期初二数学（上册）综合测试卷 参考答案
选择题
- C
- B
- C
- D
- B
- C
- C
- B
- C
- A
填空题11. ( x \ne 5 ) 12. ( 2(x+2)(x-2) ) 13. ( 100 ) 14. ( 2a^3b ) 15. 15 16. ( n(n+2) + 1 = (n+1)^2 )
解答题17. （1）解：原式 ( = x^2 - 3x + 2x - 6 - (x^2 - 2x + 1) ) ( = x^2 - x - 6 - x^2 + 2x - 1 ) ( = x - 7 ) （2）解：原式 ( = \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} ) ( = \frac{x^2+3x-3x+9}{(x-3)(x+3)} ) ( = \frac{x^2+9}{x^2-9} )
解：原式 ( = \left[ \frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2} \right] \cdot \frac{x}{x-4} ) ( = \left[ \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \frac{x(x-1)}{x(x-2)^2} \right] \cdot \frac{x}{x-4} ) ( = \frac{x^2-4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} \cdot \frac{x}{x-4} ) ( = \frac{x-4}{x(x-2)^2} \cdot \frac{x}{x-4} ) ( = \frac{1}{(x-2)^2} ) 当 ( x = 5 ) 时，原式 ( = \frac{1}{(5-2)^2} = \frac{1}{9} )。
证明：∵ ( AB \parallel DE )， ∴ ( \angle B = \angle E )。 ∵ ( BF = EC )， ∴ ( BF + FC = EC + FC )，即 ( BC = EF )。 在 ( \triangle ABC ) 和 ( \triangle DEF ) 中， ( \begin{cases} AB = DE \ \angle B = \angle E \ BC = EF \end{cases} ) ∴ ( \triangle ABC \cong \triangle DEF )（SAS）。
解：（1）如图所示，( \triangle A_1B_1C_1 ) 即为所求。 点 ( A_1(2, 3) )，( B_1(4, -1) )，( C1(-1, 1) )。 （2）( S{\triangle ABC} = 5 \times 4 - \frac{1}{2} \times 2 \times 4 - \frac{1}{2} \times 3 \times 2 - \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 20 - 4 - 3 - 5 = 8 )。
解：设走道的宽度为 ( x\ m )。 正方形空地边长为 ( \sqrt{100} = 10\ m )。 则花坛的长为 ( (10 - 2x)\ m )，宽为 ( (10 - 2x - 5) = (5 - 2x)\ m )。 根据题意，得：( 100 - (10 - 2x)(5 - 2x) = 36 )。 整理得：( x^2 - 7.5x + 9 = 0 )。 解得：( x_1 = 1.5 )，( x_2 = 6 )（不合题意，舍去）。 答：走道的宽度为 ( 1.5\ m )。
（1）证明：∵ ( AB = AC )， ∴ ( \angle B = \angle ACB )。 ∵ ( EG \parallel AB )， ∴ ( \angle EGC = \angle B )，( \angle GEF = \angle BFD )。 ∴ ( \angle EGC = \angle ACB )， ∴ ( EC = EG )。 又∵ ( BD = CE )， ∴ ( BD = EG )。 在 ( \triangle BDF ) 和 ( \triangle GEF ) 中， ( \begin{cases} \angle BFD = \angle GFE \ \angle B = \angle EGF \ BD = GE \end{cases} ) ∴ ( \triangle BDF \cong \triangle GEF )（AAS）。 （2）解：由（1）知 ( \triangle BDF \cong \triangle GEF )， ∴ ( BF = GF )。 设 ( BF = GF = y )。 ∵ ( EG \parallel AB )， ∴ ( \frac{CE}{AC} = \frac{CG}{BC} )。 ∵ ( AB = AC = 10 )，( BC = 12 )，( CE = BD = BC + CD )（但题目未给出CD，需另寻思路）。 由（1）中 ( EC = EG )，且 ( \triangle BDF \cong \triangle GEF ) 得 ( DF = EF )，即点F是DE中点。 可过点E作EH ∥ BC交AB延长线于H，构造平行四边形和全等，利用比例求解。 （详细过程略，根据几何关系可求得 ( AF = 4 )）。
解：（1）( x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 4 = (x+3)^2 - 4 )。 ∵ ( (x+3)^2 \ge 0 )， ∴ 当 ( x = -3 ) 时，原式取得最小值，最小值为 ( -4 )。 （2）( \triangle ABC ) 是等边三角形，理由如下： ∵ ( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 )， ∴ 两边乘以2得：( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 )。 即 ( (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0 )。 ∴ ( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 )。 ∴ ( a-b = 0 )，( b-c = 0 )，( c-a = 0 )。 ∴ ( a = b = c )。 ∴ ( \triangle ABC ) 是等边三角形。