选择题（每题4分，共32分）
下列方程中,属于一元二次方程的是（ ） A. (x^2 + 2x = 0) B. (x + y = 1) C. (x^3 - x = 1) D. (\frac{1}{x} + x = 2)
抛物线 (y = 2(x-1)^2 + 3) 的顶点坐标是（ ） A. ((1, 3)) B. ((-1, 3)) C. ((1, -3)) D. ((-1, -3))
在 (\triangle ABC) 中，(\angle C = 90^\circ)，若 (\sin A = \frac{1}{2})，则 (\cos B) 的值为（ ） A. (\frac{1}{2}) B. (\frac{\sqrt{3}}{2}) C. (\frac{\sqrt{2}}{2}) D. 1
已知 (\odot O) 的半径为 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 3 cm，则直线 l 与 (\odot O) 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
若关于 x 的一元二次方程 (x^2 - 2x + m = 0) 有两个相等的实数根，则 m 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
将抛物线 (y = x^2) 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. (y = (x-2)^2 + 3) B. (y = (x+2)^2 + 3) C. (y = (x-2)^2 - 3) D. (y = (x+2)^2 - 3)
在比例尺为 1:50000 的地图上，量得 A、B 两地的距离为 4 cm，则 A、B 两地的实际距离为（ ） A. 0.2 km B. 2 km C. 20 km D. 200 km
一个圆锥的侧面展开图是半径为 6，圆心角为 (120^\circ) 的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
填空题（每题4分，共20分）9. 方程 (x^2 - 5x = 0) 的解为____。
在 (\triangle ABC) 中，(\angle C = 90^\circ)，(AB = 10)，(BC = 6)，则 (\tan A =)____。
正六边形的每个内角的度数为____。
已知二次函数 (y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 (x = 1)，则方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的两根之和为____。
如图,(\triangle ABC) 内接于 (\odot O)，(\angle BAC = 60^\circ)，(\odot O) 的半径为 4，则 (\widehat{BC}) 的长为____。
解答题（共48分）14. （10分）解方程： （1）(x^2 - 4x - 5 = 0) （2）(2x^2 - 4x - 1 = 0)（用公式法）
（8分）计算： （1）(\sin^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ - \tan 30^\circ \cdot \cot 30^\circ) （2）(\frac{\sin 60^\circ - \cos 45^\circ}{\tan 45^\circ + \cot 30^\circ})
（8分）已知二次函数 (y = -x^2 + 4x - 3)。 （1）将其化为顶点式 (y = a(x-h)^2 + k) 的形式； （2）求该函数图象与 x 轴、y 轴的交点坐标； （3）画出函数图象的示意图，并写出当 (y > 0) 时，x 的取值范围。
（10分）如图，AB 是 (\odot O) 的直径，C 是 (\odot O) 上一点，(OD \perp BC) 于点 D，交 (\odot O) 于点 E，连接 AE 交 BC 于点 F。 （1）求证：(D) 是 BC 的中点； （2）若 (AB = 10)，(BC = 8)，求 DE 的长。
（12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？
2025年初三上册数学课本知识点综合测试卷答案
选择题
- A
- A
- A
- A
- A
- A
- B
- B
填空题9. (x_1 = 0, x_2 = 5) 10. (\frac{3}{4}) 11. (120^\circ) 12. 2 13. (\frac{8\pi}{3})
解答题14. （1）解：((x-5)(x+1)=0)，(x_1=5, x_2=-1) （2）解：(a=2, b=-4, c=-1)，(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 24 > 0)， (x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2})， (x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2})
（1）解：原式 = (\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 1 = -\frac{1}{4}) （2）解：原式 = (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2(1+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(1-\sqrt{3})}{2(1-3)} = \frac{\sqrt{3} - 3 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{-4} = \frac{3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}}{4})
（1）解：(y = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3 = -(x-2)^2 + 1) （2）解：令 (y=0)，则 (-x^2 + 4x - 3 = 0)，解得 (x_1=1, x_2=3)，与 x 轴交点坐标为 ((1,0), (3,0))； 令 (x=0)，则 (y=-3)，与 y 轴交点坐标为 ((0,-3))。 （3）解：图象略（开口向下，顶点(2,1)，与x轴交于(1,0),(3,0)，与y轴交于(0,-3)）。 当 (y > 0) 时，(1 < x < 3)。
（1）证明：∵ AB 是直径，(OD \perp BC)， ∴ 由垂径定理得 (BD = CD)，即 D 是 BC 的中点。 （2）解：连接 OC，∵ (BC=8)，(D) 为 BC 中点，∴ (BD=CD=4)。 在 Rt(\triangle OBD) 中，(OB=5)，(BD=4)，∴ (OD = \sqrt{OB^2 - BD^2} = \sqrt{25-16} = 3)。 ∴ (DE = OE - OD = 5 - 3 = 2)。
（1）解：设每件衬衫降价 (x) 元，则每天可售出 ((20+2x)) 件，每件盈利 ((40-x)) 元。 根据题意：((20+2x)(40-x) = 1200)， 整理得：(x^2 - 30x + 200 = 0)，解得 (x_1=10, x_2=20)。 为尽快减少库存，取 (x=20)。 答：每件衬衫应降价 20 元。 （2）解：设每天盈利为 (y) 元，则 (y = (20+2x)(40-x) = -2x^2 + 60x + 800 = -2(x-15)^2 + 1250)。 ∵ (-2 < 0)，∴ 当 (x=15) 时，(y) 有最大值 1250。 答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利为 1250 元。