选择题（每小题3分，共30分）
下列方程中,是关于 (x) 的一元二次方程的是（ ） A. (x^2 + 2y = 1) B. (x^3 - 2x = 0) C. (x^2 + \frac{1}{x} = 5) D. (x^2 - 3x = 4)
抛物线 (y = 2(x - 1)^2 + 3) 的顶点坐标是（ ） A. ((1, 3)) B. ((-1, 3)) C. ((1, -3)) D. ((-1, -3))
已知 (\odot O) 的半径为 (5)，点 (P) 到圆心 (O) 的距离为 (3)，则点 (P) 与 (\odot O) 的位置关系是（ ） A. 点 (P) 在圆外 B. 点 (P) 在圆上 C. 点 (P) 在圆内 D. 无法确定
将二次函数 (y = x^2 - 4x + 5) 化为 (y = a(x - h)^2 + k) 的形式，结果为（ ） A. (y = (x - 2)^2 + 1) B. (y = (x + 2)^2 + 1) C. (y = (x - 2)^2 + 9) D. (y = (x + 2)^2 + 9)
(x) 的一元二次方程 (x^2 + 4x + m = 0) 有两个相等的实数根，则 (m) 的值为（ ） A. (4) B. (2) C. (1) D. (0)
在平面直角坐标系中,点 (A(2, -3)) 关于原点对称的点的坐标是（ ） A. ((-2, 3)) B. ((-2, -3)) C. ((2, 3)) D. ((3, -2))
一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. (\frac{1}{5}) B. (\frac{2}{5}) C. (\frac{3}{5}) D. (\frac{4}{5})
如图,(AB) 是 (\odot O) 的直径，(\angle C = 40^\circ)，则 (\angle ABD) 的度数是（ ） A. (40^\circ) B. (50^\circ) C. (60^\circ) D. (70^\circ)
某商品经过两次降价,售价由原来的每件 100 元降为每件 81 元，设平均每次降价的百分率为 (x)，可列方程为（ ） A. (100(1 - x)^2 = 81) B. (100(1 + x)^2 = 81) C. (81(1 - x)^2 = 100) D. (100(1 - 2x) = 81)
二次函数 (y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. (a > 0) B. 当 (x > -1) 时，(y) 随 (x) 的增大而减小 C. (c < 0) D. 方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的两根是 (x_1 = -3, x_2 = 1)
填空题（每小题3分，共15分）
方程 (x^2 = 9) 的解是 ________。
正六边形的中心角为 ________ 度。
已知圆锥的底面半径为 (3)，母线长为 (5)，则这个圆锥的侧面积为 ________。
若关于 (x) 的一元二次方程 (x^2 - 2x + k = 0) 的一个根是 (1)，则另一个根是 ________。
如图,在 (\triangle ABC) 中，(\angle BAC = 90^\circ)，将 (\triangle ABC) 绕点 (A) 顺时针旋转 (60^\circ) 得到 (\triangle AB'C')，连接 (CC')，则 (\angle ACC') 的度数是 ________。
解答题（共55分）
（8分）解方程： （1）(x^2 - 4x - 5 = 0) （2）(2x(x - 3) = x - 3)
（6分）已知抛物线 (y = -x^2 + bx + c) 经过点 (A(1, 0)) 和点 (B(0, 3))。 （1）求该抛物线的解析式。 （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标。
（7分）如图，在 (\triangle ABC) 中，(AB = AC)，以 (AB) 为直径的 (\odot O) 交 (BC) 于点 (D)，过点 (D) 作 (DE \perp AC) 于点 (E)，求证：(DE) 是 (\odot O) 的切线。
（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有数字 (1, 2, 3, 4) 的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验前先搅拌均匀。 （1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率是多少？ （2）若从中任取两球，用画树状图或列表的方法，求两个球上的数字之和为奇数的概率。
（8分）已知关于 (x) 的一元二次方程 (x^2 - (m + 2)x + 2m = 0)。 （1）求证：无论 (m) 取何值，方程总有两个实数根。 （2）若该方程有一个根小于 (2)，求 (m) 的取值范围。
（9分）某商场销售一种商品，进价为每件 (20) 元，售价为每件 (30) 元时，每天可售出 (200) 件，经市场调查发现，如果每件商品的售价每上涨 (1) 元，则每天少售出 (10) 件，设每件商品的售价上涨 (x) 元（(x) 为正整数）。 （1）每天可销售 ________ 件（用含 (x) 的代数式表示）； （2）要使每天销售该商品的利润为 (2160) 元，求每件商品的售价应定为多少元？
（9分）如图，抛物线 (y = ax^2 + bx + 3 (a \neq 0)) 与 (x) 轴交于点 (A(-1, 0)) 和点 (B(3, 0))，与 (y) 轴交于点 (C)。 （1）求该抛物线的解析式。 （2）点 (P) 是抛物线对称轴上的一个动点，当 (\triangle PAC) 的周长最小时，求点 (P) 的坐标。 （3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点 (Q)，使 (\triangle QAC) 是直角三角形？若存在，请求出点 (Q) 的坐标；若不存在，请说明理由。
人教版初三数学上册2025年学业水平测试卷 参考答案
选择题
D 2. A 3. C 4. A 5. A 6. A 7. C 8. B 9. A 10. D
填空题11. (x_1 = 3, x_2 = -3) 12. (60) 13. (15\pi) 14. (1) 15. (60^\circ)
解答题16. （1）解： ((x - 5)(x + 1) = 0)， (x_1 = 5, x_2 = -1)。 （2）解： (2x(x - 3) - (x - 3) = 0)， ((x - 3)(2x - 1) = 0)， (x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{2})。
解：（1）将 (A(1,0))， (B(0,3)) 代入 (y = -x^2 + bx + c) 得： (\begin{cases} -1 + b + c = 0 \ c = 3 \end{cases})， 解得 (b = -2, c = 3)。 解析式为： (y = -x^2 - 2x + 3)。 （2）对称轴为： (x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times (-1)} = -1)。 当 (x = -1) 时， (y = -(-1)^2 - 2 \times (-1) + 3 = 4)。 顶点坐标为 ((-1, 4))。
证明：连接 (OD)， (AD)。 ∵ (AB) 是直径，∴ (\angle ADB = 90^\circ)， 即 (AD \perp BC)。 ∵ (AB = AC)，∴ (D) 是 (BC) 中点。 ∵ (O) 是 (AB) 中点，∴ (OD) 是 (\triangle ABC) 的中位线，∴ (OD \parallel AC)。 ∵ (DE \perp AC)，∴ (DE \perp OD)。 ∵ (OD) 是 (\odot O) 半径，∴ (DE) 是 (\odot O) 的切线。
解：（1）(P(偶数) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2})。 （2）列表如下： | 和 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | | 3 | 4 | 5 | | 2 | 3 | | 5 | 6 | | 3 | 4 | 5 | | 7 | | 4 | 5 | 6 | 7 | | 共有 (12) 种等可能结果，数字之和为奇数的有 (8) 种。 (P(和为奇数) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3})。
（1）证明：(\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 \times 1 \times 2m = m^2 + 4m + 4 - 8m = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2 \ge 0)。 ∴ 无论 (m) 取何值，方程总有两个实数根。 （2）解：解方程得 (x_1 = m, x_2 = 2)。 由题意，方程有一个根小于 (2)，即 (m < 2)。
解：（1）((200 - 10x)) （2）设利润为 (W) 元，则 (W = (30 + x - 20)(200 - 10x) = (10 + x)(200 - 10x) = -10x^2 + 100x + 2000)。 令 (W = 2160)， 即 (-10x^2 + 100x + 2000 = 2160)。 化简得 (x^2 - 10x + 16 = 0)， 解得 (x_1 = 2, x_2 = 8)。 当 (x=2) 时，售价为 (32) 元；当 (x=8) 时，售价为 (38) 元。 答：每件商品的售价应定为 (32) 元或 (38) 元。
解：（1）将 (A(-1,0))， (B(3,0)) 代入 (y = ax^2 + bx + 3) 得： (\begin{cases} a - b + 3 = 0 \ 9a + 3b + 3 = 0 \end{cases})， 解得 (a = -1, b = 2)。 解析式为： (y = -x^2 + 2x + 3)。 （2）对称轴为 (x = 1)，点 (C) 坐标为 ((0, 3))。 点 (A) 关于对称轴 (x=1) 的对称点为点 (B(3,0))。 连接 (BC) 交对称轴于点 (P)， (PA+PC) 最小， (\triangle PAC) 周长最小。 设直线 (BC) 解析式为 (y = kx + 3)， 将 (B(3,0)) 代入得 (0 = 3k + 3)， (k = -1)。 直线 (BC)： (y = -x + 3)。 当 (x = 1) 时， (y = 2)。 ∴ (P(1, 2))。 （3）存在，设 (Q(1, t))。 (A(-1,0))， (C(0,3))。 (AC^2 = 10)， (AQ^2 = (1+1)^2 + (t-0)^2 = 4 + t^2)， (CQ^2 = (1-0)^2 + (t-3)^2 = 1 + (t-3)^2)。 ① 当 (\angle AQC = 90^\circ) 时， (AQ^2 + CQ^2 = AC^2)， 即 (4 + t^2 + 1 + (t-3)^2 = 10)， 解得 (t=1) 或 (t=2)。 ∴ (Q(1,1)) 或 (Q(1,2))（与 (P) 重合）。 ② 当 (\angle QAC = 90^\circ) 时， (AQ^2 + AC^2 = CQ^2)， 即 (4 + t^2 + 10 = 1 + (t-3)^2)， 解得 (t = -\frac{2}{3})。 ∴ (Q(1, -\frac{2}{3}))。 ③ 当 (\angle QCA = 90^\circ) 时， (CQ^2 + AC^2 = AQ^2)， 即 (1 + (t-3)^2 + 10 = 4 + t^2)， 解得 (t = \frac{8}{3})。 ∴ (Q(1, \frac{8}{3}))。 存在点 (Q)， 坐标为 ((1,1))， ((1, -\frac{2}{3}))， ((1, \frac{8}{3}))。