（满分：120分 考试时间：100分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 等腰梯形
一元二次方程 (x^2 - 4x + 3 = 0) 的解是（ ） A. (x_1 = -1, x_2 = -3) B. (x_1 = 1, x_2 = 3) C. (x_1 = 1, x_2 = -3) D. (x_1 = -1, x_2 = 3)
将抛物线 (y = 2x^2) 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. (y = 2(x-1)^2 + 3) B. (y = 2(x+1)^2 + 3) C. (y = 2(x-1)^2 - 3) D. (y = 2(x+1)^2 - 3)
x)的一元二次方程 ((m-1)x^2 + 2x - 1 = 0) 有实数根，则(m)的取值范围是（ ） A. (m > 0) B. (m \geq 0) C. (m > 0) 且 (m \neq 1) D. (m \geq 0) 且 (m \neq 1)
如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. (\frac{1}{5}) B. (\frac{2}{5}) C. (\frac{3}{5}) D. 1
用配方法解方程 (x^2 + 6x - 5 = 0)，配方后得到的方程是（ ） A. ((x+3)^2 = 4) B. ((x+3)^2 = 14) C. ((x+6)^2 = 41) D. ((x+6)^2 = 9)
圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. (15\pi \text{ cm}^2) B. (20\pi \text{ cm}^2) C. (12\pi \text{ cm}^2) D. (30\pi \text{ cm}^2)
已知二次函数 (y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） （图略，描述：抛物线开口向下，顶点在第一象限，与y轴交于正半轴） A. (a > 0, b < 0, c > 0) B. (a < 0, b < 0, c > 0) C. (a < 0, b > 0, c > 0) D. (a < 0, b > 0, c < 0)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A'B'C，则图中阴影部分的面积为（ ） A. (2\pi) B. (4\pi) C. (4) D. (8)
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
点P(-2, 3)关于原点对称的点的坐标是__。
若关于(x)的一元二次方程 (x^2 + kx + 9 = 0) 有两个相等的实数根，则k的值为__。
正六边形的中心角为__度。
一个扇形的圆心角为120°，半径为6，则这个扇形的弧长为__。
从甲、乙、丙三人中任选两人参加“垃圾分类”宣传活动，恰好选中甲和乙的概率是__。
二次函数 (y = ax^2 + bx + c) 的图象经过点(1,0)，(3,0)，则方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的解是__。
解答题（本大题共8小题，共72分）
（8分）解下列方程： (1) (x^2 - 3x - 4 = 0) （公式法） (2) (2x(x-1) = 3(x-1)) （因式分解法）
（6分）已知二次函数 (y = -x^2 + 4x)。 (1) 写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (2) 当(x)取何值时，(y)随(x)的增大而减小？
（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)。 (1) 画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A₁B₁C₁。 (2) 画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A₂B₂C₂。
（8分）已知关于(x)的一元二次方程 (x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0)。 (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根。 (2) 若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时,求k的值。
（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且AC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E。 (1) 求证：CE是⊙O的切线。 (2) 若⊙O的半径为5，∠B=60°,求线段AE的长。
（10分）某商场销售一种商品，每件进价为20元，在销售过程中发现，每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y = -2x + 80 (20 \leq x \leq 40))。 (1) 设商场每天销售该商品获得的利润为(w)元，求(w)与(x)之间的函数关系式。 (2) 销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（10分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字-1，0，1，2的小球，除数字不同外，小球没有任何区别。 (1) 从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是非负数的概率。 (2) 小明和小丽进行摸球游戏，规则如下：先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并摇匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，若两次摸出的小球上的数字之积为偶数，则小明胜；否则小丽胜，请判断这个游戏规则是否公平,并说明理由。
（12分）如图，抛物线 (y = ax^2 + bx + 3) 与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C。 (1) 求该抛物线的解析式。 (2) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。 (3) 点M是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，求△MBC面积的最大值。
2025年初三数学上册（人教版）综合测试卷 参考答案
选择题
C 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. B 10. A
填空题11. (2, -3) 12. ±6 13. 60 14. (4\pi) 15. (\frac{1}{3}) 16. (x_1=1, x_2=3)
解答题17. (1) (x_1=4, x_2=-1) (2) (x_1=1, x_2=\frac{3}{2})
(1) 开口向下，对称轴为直线(x=2)，顶点坐标为(2,4)。 (2) 当(x > 2)时，(y)随(x)的增大而减小。
图略。
(1) 证明：∵Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k²+k) = 4k²+4k+1 - 4k²-4k = 1 > 0，∴方程总有两个不相等的实数根。 (2) 解方程得 (x_1 = k+1, x_2 = k)，当腰长为5时，若k+1=5，则k=4，三边为5,5,4，成立；若k=5，则k+1=6，三边为5,5,6，成立，当底边长为5时，k+1=k，不成立，综上,k的值为4或5。
(1) 证明：连接OC。∵AC=CD，∴弧AC=弧CD，∴∠COA=∠COD。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∵∠COA=2∠CDA，∠COA=∠COD，∴∠CDA=∠OAC。∴OC∥AE。∵CE⊥AE，∴CE⊥OC。∴CE是⊙O的切线。 (2) 解：连接BC。∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∵∠B=60°，∴∠CAB=30°。∴∠CDA=∠CAB=30°，在Rt△ACE中，AC=AB·cos∠CAB=10×(\frac{\sqrt{3}}{2})=5√3。∴AE=AC/cos∠CAE=5√3 / cos30° = 5√3 / ((\frac{\sqrt{3}}{2})) = 10。
(1) (w = (x-20)y = (x-20)(-2x+80) = -2x^2 + 120x - 1600)。 (2) (w = -2(x-30)^2 + 200)。∵-2<0，20≤x≤40，∴当x=30时，w有最大值，最大值为200元，答：销售单价定为30元时，每天利润最大,为200元。
(1) 非负数有0,1,2，共3个，总数为4，故概率为(\frac{3}{4})。 (2) 列表或画树状图略，所有等可能结果有16种，两次数字之积为偶数的结果有12种，概率为(\frac{12}{16}=\frac{3}{4})；积为奇数的概率为(\frac{4}{16}=\frac{1}{4})。∵(\frac{3}{4} \neq \frac{1}{4})，∴游戏规则不公平。
(1) 将A(-1,0)，B(3,0)代入得：(a - b + 3 = 0)，(9a + 3b + 3 = 0)，解得(a = -1, b = 2)。∴抛物线解析式为 (y = -x^2 + 2x + 3)。 (2) 对称轴为直线(x=1)，点A关于对称轴的对称点为B(3,0)，连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC最小（PB+PC最小），设直线BC解析式为y=kx+m，将B(3,0)，C(0,3)代入得：k=-1, m=3。∴直线BC：y=-x+3，当x=1时，y=2。∴点P坐标为(1,2)。 (3) 过点M作MN∥y轴交BC于点N，设M(t, -t²+2t+3)，则N(t, -t+3)。∴MN = (-t²+2t+3) - (-t+3) = -t²+3t。∴S△MBC = (\frac{1}{2})×MN×|xB-xC| = (\frac{1}{2})×(-t²+3t)×3 = (-\frac{3}{2})(t²-3t) = (-\frac{3}{2})(t-(\frac{3}{2}))² + (\frac{27}{8})。∵-(\frac{3}{2})<0，∴当t=(\frac{3}{2})时，△MBC面积有最大值(\frac{27}{8})。