选择题（每题4分，共20分）
若关于 (x) 的一元二次方程 (x^2 - 2x + m = 0) 有两个相等的实数根，则 (m) 的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2在平面直角坐标系中，点 (P(3, -4)) 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. ((-3, 4))
B. ((-3, -4))
C. ((3, 4))
D. ((3, -4))若一个多边形的内角和是 (1080^\circ)，则这个多边形是（ ）
A. 六边形
B. 七边形
C. 八边形
D. 九边形下列函数中，(y) 随 (x) 增大而减小的是（ ）
A. (y = 2x)
B. (y = -3x + 1)
C. (y = x^2)
D. (y = \frac{1}{x} (x > 0))如图，在 (\triangle ABC) 中，(DE \parallel BC)，(AD = 3)，(DB = 2)，则 (\frac{DE}{BC} =)（ ）
A. (\frac{3}{5})
B. (\frac{2}{5})
C. (\frac{3}{4})
D. (\frac{2}{3})
填空题（每题4分，共20分）
6. 计算：(\sqrt{12} - \sqrt{3} =)__。
7. 若 (a + b = 5)，(ab = 6)，则 (a^2 + b^2 =)__。
8. 一次函数 (y = kx + 2) 的图象经过点 ((1, 4))，则 (k =)__。
9. 在 (\triangle ABC) 中，(\angle C = 90^\circ)，(AC = 6)，(BC = 8)，则 (\sin A =)__。
10. 数据 2, 4, 6, 8, 10 的方差是__。
解答题（共60分）
11. （10分）解不等式组：
[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \ x + 4 \leq 7 \end{cases} ]
（12分）如图，在平行四边形 (ABCD) 中，点 (E)、(F) 分别在边 (AB)、(CD) 上，且 (AE = CF)，求证：四边形 (AECF) 是平行四边形。
（12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售，商场决定采取降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，平均每天可多售出 2 件，若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（14分）已知二次函数 (y = x^2 - 4x + 3)。
（1）求该函数图象的顶点坐标；
（2）求该函数图象与 (x) 轴的交点坐标；
（3）画出函数图象的示意图，并写出当 (y < 0) 时 (x) 的取值范围。（12分）在 (\triangle ABC) 中，(\angle B = 90^\circ)，(AB = 6)，(BC = 8)，点 (D) 为边 (AC) 的中点，过点 (D) 作 (DE \perp BC) 于点 (E)，连接 (BE)，求 (BE) 的长。
参考答案
一、选择题
- A
- A
- C
- B
- A
填空题
6. (\sqrt{3})
7. 13
8. 2
9. (\frac{4}{5})
10. 8
解答题
11. 解：由 (2x - 1 > 3) 得 (x > 2)；由 (x + 4 \leq 7) 得 (x \leq 3)。
∴ 不等式组的解集为 (2 < x \leq 3)。
证明：∵ 四边形 (ABCD) 是平行四边形，
∴ (AB \parallel CD)，(AB = CD)。
又 (AE = CF)，∴ (AB - AE = CD - CF)，即 (BE = DF)。
∴ 四边形 (AECF) 是平行四边形（一组对边平行且相等）。解：设每件衬衫降价 (x) 元，则每件盈利 ((40 - x)) 元，每天售出 ((20 + 2x)) 件。
由题意得：((40 - x)(20 + 2x) = 1200)，
整理得：(x^2 - 30x + 200 = 0)，
解得：(x_1 = 10)，(x_2 = 20)。
答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元。解：（1）(y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1)，顶点坐标为 ((2, -1))。
（2）令 (y = 0)，得 (x^2 - 4x + 3 = 0)，解得 (x_1 = 1)，(x_2 = 3)。
∴ 与 (x) 轴交点坐标为 ((1, 0))，((3, 0))。
（3）图象略（开口向上，顶点 ((2, -1))，与 (x) 轴交于 ((1, 0)) 和 ((3, 0))）。
当 (y < 0) 时，(x) 的取值范围为 (1 < x < 3)。解：在 (\triangle ABC) 中，(\angle B = 90^\circ)，(AB = 6)，(BC = 8)，
∴ (AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 10)。
∵ 点 (D) 为 (AC) 中点，∴ (BD = \frac{1}{2} AC = 5)（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵ (DE \perp BC)，(AB \perp BC)，∴ (DE \parallel AB)。
又 (D) 为 (AC) 中点，∴ (E) 为 (BC) 中点，∴ (BE = \frac{1}{2} BC = 4)。
命题人：初中数学辅导老师
命题时间：2025年1月