（满分：120分 考试时间：100分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. √12 B. √(1/3) C. √7 D. √0.5
下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6， 8， 10 B. 5， 12， 13 C. 2， 3， 4 D. 1， 1， √2
在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=2:1，则∠C的度数为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
关于x的一元二次方程 (x^2 - 2x + m = 0) 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m > 1 B. m < 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1
一次函数 (y = -2x + 3) 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角
将直线 (y = 3x - 2) 向上平移3个单位长度后，得到的直线表达式为（ ） A. (y = 3x + 1) B. (y = 3x - 5) C. (y = 6x - 2) D. (y = 3x + 3)
某校八年级进行篮球联赛，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛，设共有x支球队参赛，根据题意，可列方程为（ ） A. (x(x-1)=15) B. (x(x+1)=15) C. (\frac{1}{2}x(x-1)=15) D. (\frac{1}{2}x(x+1)=15)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 2√3 B. 4 C. 4√3 D. 8
甲、乙两人沿相同路线从A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20km，他们前进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的速度是5 km/h B. 乙比甲晚出发1小时 C. 乙出发后2小时追上甲 D. 甲比乙先到B地
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
若二次根式 √(x-5) 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__。
一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是__。
若关于x的方程 (x^2 - 4x + k = 0) 的一个根是1，则另一个根是__，k =__。
在平面直角坐标系中，点P（-2， 3）关于y轴对称的点的坐标是__。
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为__。
如图，一次函数 (y = kx + b) 与 (y = -x + 4) 的图象交于点P（m， 2），则关于x的不等式 (kx + b > -x + 4) 的解集是__。
解答题（本大题共7小题，共72分）
（10分）计算： （1）√18 - √8 + √(1/2) （2）(√3 + 2)(√3 - 2) - (√5 - 1)²
（10分）解方程： （1）(x^2 - 4x - 5 = 0) （用配方法） （2）(2x(x - 3) = x - 3)
（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE。 求证：四边形AECF是平行四边形。
（10分）已知关于x的一元二次方程 (x^2 + (2m-1)x + m^2 = 0) 有两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x₁， x₂，且满足 (x₁^2 + x₂^2 = 7),求m的值。
（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF//BC交DE的延长线于点F，连接CF。 （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC=8，BC=6,求菱形ADCF的面积。
（12分）某商店销售一种进价为20元/件的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系,其部分数据如下表：
销售单价x（元/件） 25 30 35 日销售量y（件） 110 100 90 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设商店销售该商品每天获得的利润为w元。 ① 求w与x之间的函数关系式； ② 该商品销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（12分）综合与实践 问题情境：在学习了特殊四边形的知识后，数学兴趣小组对图形变换进行了探究。 操作发现：如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B‘的位置，AB’与CD交于点E。 （1）求证：△ACE是等腰三角形； 拓展探究： （2）如图2，若AB=6，BC=8。 ① 求线段DE的长； ② 连接BB‘，交AC于点O，判断四边形AB’CE的形状,并说明理由。
2025年春季初二数学下册（北师大版）期末测试卷 参考答案
选择题
C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. C 7. A 8. C 9. A 10. D
填空题11. x ≥ 5 12. 6 13. 3， 3 14. （2， 3） 15. 25/8 （或 3.125） 16. x > 1
解答题17. （1）原式 = 3√2 - 2√2 + (√2)/2 = (3√2)/2 （2）原式 = (3 - 4) - (5 - 2√5 + 1) = -1 - (6 - 2√5) = -7 + 2√5
（1）配方得：(x - 2)² = 9， 解得：x₁ = 5， x₂ = -1 （2）移项得：2x(x-3) - (x-3)=0， 分解得：(x-3)(2x-1)=0， 解得：x₁ = 3， x₂ = 1/2
证明：∵ AB=CD， AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。∴ AD//BC。 ∵ AF=CE，∴ AD - AF = BC - CE， 即 DF = BE。 又∵ DF//BE，∴ 四边形BEDF是平行四边形。∴ BF//DE， 即 AF//CE。 又∵ AF=CE，∴ 四边形AECF是平行四边形。（方法不唯一）
解：（1）∵ 方程有两个实数根，∴ Δ = (2m-1)² - 4m² ≥ 0。 解得：-4m + 1 ≥ 0， ∴ m ≤ 1/4。 （2）由根与系数关系：x₁ + x₂ = -(2m-1) = 1 - 2m， x₁x₂ = m²。 ∵ x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ = 7， ∴ (1-2m)² - 2m² = 7， 整理得：4m² - 4m + 1 - 2m² - 7 = 0， 即 2m² - 4m - 6 = 0。 解得：m₁ = 3， m₂ = -1。 由（1）知 m ≤ 1/4，∴ m = -1。
（1）证明：∵ AF//BC， ∴ ∠FAE = ∠C。 ∵ DE⊥AC， ∴ ∠AED = 90°。 ∵ ∠ACB=90°， D是AB中点，∴ CD = AD = BD。 ∴ ∠DAC = ∠DCA。 在△AEF和△CED中，∠FAE=∠C， ∠AEF=∠CED=90°， AF无法直接证全等，需换思路。 更简捷：∵ D是Rt△ABC斜边中点，∴ CD = AD。 ∵ AF//BC， DE⊥AC， BC⊥AC，∴ AF⊥AC， 即∠CAF=90°。 易证DE是△ABC的中位线，∴ E是AC中点。∴ EF垂直平分AC？需严谨。 另一种思路：先证△AEF≌△CED（AAS），得AE=CE，再结合D是AB中点，DE//BC，可证四边形ADCF是平行四边形，结合AD=CD，得菱形。 （2）∵ AC=8， BC=6，∴ AB=10。 ∴ CD = AD = 5。 在Rt△ADE中，由面积法或相似可求DE，进而求面积，菱形面积 = ACDE / 2？实际上菱形ADCF对角线为AC和DF。 计算得：S菱形 = (1/2) ACDF = (1/2) 8(2 DE) = 8DE。 ∵ DE是△ABC以AC为底的中位线？不，DE⊥AC， 利用△ADE∽△ACB，可求DE=3， 则S菱形=24。
解：（1）设y=kx+b， 代入(25，110)，(30，100)得： {25k+b=110; 30k+b=100} 解得：k=-2， b=160。 ∴ y = -2x + 160。 （2）① w = (x - 20)y = (x - 20)(-2x + 160) = -2x² + 200x - 3200。 ② w = -2(x - 50)² + 1800。 ∵ -2 < 0， 且20 < x < 80（考虑销量非负）， ∴ 当x=50时，w最大，最大值为1800元。 答：定价50元时，利润最大,为1800元。
（1）证明：由折叠知∠BAC = ∠B‘AC。 ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB//CD。 ∴ ∠BAC = ∠DCA。 ∴ ∠B‘AC = ∠DCA。 ∴ EA = EC。 ∴ △ACE是等腰三角形。 （2）① 设DE = x， 则CE = 8 - x。 ∵ EA = EC = 8 - x。 在Rt△ADE中， AD=6， 由勾股定理：x² + 6² = (8 - x)²。 解得：x = 7/4。 ∴ DE = 1.75。 ② 四边形AB‘CE是菱形。 理由：由（1）知EA=EC。 由折叠知AB‘=AB=CD， ∠B‘=∠B=90°=∠D。 在Rt△AB‘E和Rt△CDE中，∵ AB‘=CD， ∠AEB‘=∠CED， ∴ Rt△AB‘E≌Rt△CDE（AAS）。 ∴ B‘E=DE。 又∵ AB‘//CE（矩形对边平行）， ∴ 四边形AB‘CE是平行四边形。 又∵ EA=EC，∴ 平行四边形AB‘CE是菱形。