选择题（每题5分，共40分）
在空间直角坐标系中,点 (P(-3, 4, 5)) (xOy) 平面对称的点的坐标是（ ） A. ((-3, 4, -5)) \quad B. ((3, 4, 5)) \quad C. ((-3, -4, 5)) \quad D. ((3, -4, 5))
已知直线 (l_1: 2x - y + 1 = 0) 与直线 (l_2: x + ky - 3 = 0) 垂直，则实数 (k) 的值为（ ） A. 2 \quad B. -2 \quad C. (\frac{1}{2}) \quad D. (-\frac{1}{2})
已知圆的方程为 (x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0)，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ((2, -3), 5) \quad B. ((-2, 3), 5) \quad C. ((2, -3), \sqrt{5}) \quad D. ((-2, 3), \sqrt{5})
若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的侧面积为（ ） A. (2\pi) \quad B. (3\pi) \quad C. (4\pi) \quad D. (6\pi)
已知直线 (l) 的倾斜角为 (120^\circ)，且过点 ((1, 2))，则直线 (l) 的方程为（ ） A. (y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}) \quad B. (y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}) C. (y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}) \quad D. (y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2 - \frac{\sqrt{3}}{3})
已知 (A(1, 2), B(3, 1))，则以线段 (AB) 为直径的圆的方程是（ ） A. ((x - 2)^2 + (y - 1.5)^2 = \frac{5}{4}) \quad B. ((x - 2)^2 + (y - 1.5)^2 = 5) C. ((x + 2)^2 + (y + 1.5)^2 = \frac{5}{4}) \quad D. ((x + 2)^2 + (y + 1.5)^2 = 5)
在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，异面直线 (A_1B) 与 (AD_1) 所成角的大小为（ ） A. (30^\circ) \quad B. (45^\circ) \quad C. (60^\circ) \quad D. (90^\circ)
已知点 (P(2, -1)) 到直线 (l: 3x - 4y + 5 = 0) 的距离为（ ） A. 1 \quad B. 2 \quad C. 3 \quad D. 4
填空题（每题5分，共20分）9. 已知球的表面积为 (36\pi)，则该球的体积为 ________。
过点 (P(1, 2)) 且与直线 (2x - 3y + 4 = 0) 平行的直线方程为 ________。
已知圆 (C_1: x^2 + y^2 = 4) 与圆 (C2: x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0) 相交于 (A, B) 两点，则公共弦 (AB) 所在直线的方程为 _______\。
在正四棱柱 (ABCD-A_1B_1C_1D1) 中，底面边长为 (2)，高为 (4)，则该正四棱柱的外接球的表面积为 _______\。
解答题（共40分）13. （10分）已知三角形 (ABC) 的三个顶点分别为 (A(1, 2), B(3, 4), C(5, 0))。 （1）求边 (BC) 所在直线的方程； （2）求边 (BC) 上的高 (AD) 所在直线的方程。
（15分）如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 是边长为2的正方形，(PA \perp) 平面 (ABCD)，且 (PA = 2)。 （1）求证：(BD \perp) 平面 (PAC)； （2）求三棱锥 (P-ABD) 的体积； （3）求直线 (PC) 与平面 (ABCD) 所成角的正切值。
（15分）已知圆 (C) 的圆心在直线 (y = 2x) 上，且与直线 (l: x + y - 1 = 0) 相切于点 (P(2, -1))。 （1）求圆 (C) 的标准方程； （2）若直线 (m: y = kx + 1) 与圆 (C) 相交于 (M, N) 两点，且 (|MN| = 2\sqrt{3})，求实数 (k) 的值。
2025年高一数学必修二综合测试卷（带答案）
选择题
A \quad 2. A \quad 3. A \quad 4. A \quad 5. A \quad 6. A \quad 7. C \quad 8. C
填空题9. (36\pi) \quad 10. (2x - 3y + 4 = 0) \quad 11. (4x - 2y - 5 = 0) \quad 12. (24\pi)
解答题13. （1）解：(k{BC} = \frac{0-4}{5-3} = -2)，所以边 (BC) 的方程为 (y - 4 = -2(x - 3))，即 (2x + y - 10 = 0)。 （2）解：因为 (AD \perp BC)，(k{AD} = \frac{1}{2})，又 (AD) 过点 (A(1, 2))，所以方程为 (y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1))，即 (x - 2y + 3 = 0)。
（1）证明：因为 (PA \perp) 平面 (ABCD)，(BD \subset) 平面 (ABCD)，(PA \perp BD)，又底面 (ABCD) 为正方形，(BD \perp AC)，因为 (PA \cap AC = A)，(BD \perp) 平面 (PAC)。 （2）解：(V{P-ABD} = \frac{1}{3} \times S{\triangle ABD} \times PA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2 = \frac{4}{3})。 （3）解：因为 (PA \perp) 平面 (ABCD)，(AC) 是 (PC) 在平面 (ABCD) 内的射影，(\angle PCA) 即为直线 (PC) 与平面 (ABCD) 所成的角，在正方形 (ABCD) 中，(AC = 2\sqrt{2})，在 (\triangle PAC) 中，(\tan \angle PCA = \frac{PA}{AC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2})。
（1）解：设圆心 (C(a, 2a))，因为圆 (C) 与直线 (l) 相切于点 (P(2, -1))，(CP \perp l)，直线 (l) 的斜率为 (-1)，(k_{CP} = 1)，即 (\frac{2a + 1}{a - 2} = 1)，解得 (a = 1)，所以圆心 (C(1, 2))，半径 (r = |CP| = \sqrt{(1-2)^2 + (2+1)^2} = \sqrt{10})，所以圆 (C) 的标准方程为 ((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10)。 （2）解：圆心 (C(1, 2)) 到直线 (m: kx - y + 1 = 0) 的距离 (d = \frac{|k - 2 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}})，因为 (|MN| = 2\sqrt{3})，所以由垂径定理得 (d^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2)，即 (\frac{(k-1)^2}{k^2+1} + 3 = 10)，解得 (k = -\frac{1}{2}) 或 (k = 2)。