（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知直线 (l) 的倾斜角为 (120^\circ)，则其斜率为（ ） A. (\sqrt{3}) B. (-\sqrt{3}) C. (\frac{\sqrt{3}}{3}) D. (-\frac{\sqrt{3}}{3})
在空间直角坐标系中,点 (P(1, -2, 3)) (xOy) 平面对称的点的坐标是（ ） A. ((1, -2, -3)) B. ((-1, -2, 3)) C. ((1, 2, 3)) D. ((-1, 2, -3))
已知圆 (C: x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0)，则其圆心坐标和半径分别为（ ） A. ((2, -3), \sqrt{13}) B. ((-2, 3), \sqrt{13}) C. ((2, -3), 13) D. ((-2, 3), 13)
已知直线 (l_1: (m+2)x + (1-m)y - 1 = 0) 与 (l_2: (m-1)x + (2m+3)y + 2 = 0) 互相垂直，则实数 (m) 的值为（ ） A. (-1) B. (1) C. (\pm1) D. (-\frac{3}{2})
已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） （此处应有简单三视图图样，假设为底面半径为1cm，高为2cm的圆柱） A. (2\pi \text{ cm}^3) B. (3\pi \text{ cm}^3) C. (\frac{4\pi}{3} \text{ cm}^3) D. (\pi \text{ cm}^3)
若方程 (x^2 + y^2 + 2kx + 4y + 3k + 8 = 0) 表示一个圆，则实数 (k) 的取值范围是（ ） A. (k < -4) 或 (k > 1) B. (-4 < k < 1) C. (k < 1) D. (k > -4)
已知 (A(1, 2), B(3, 1))，则线段 (AB) 的垂直平分线的方程是（ ） A. (4x - 2y - 5 = 0) B. (4x + 2y - 5 = 0) C. (x + 2y - 5 = 0) D. (x - 2y + 5 = 0)
设 (\alpha, \beta) 是两个不同的平面，(m, n) 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若 (m \parallel \alpha, n \parallel \alpha)，则 (m \parallel n) B. 若 (m \perp \alpha, m \perp n)，则 (n \parallel \alpha) C. 若 (m \perp \alpha, n \perp \beta, \alpha \perp \beta)，则 (m \perp n) D. 若 (\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = n, m \perp n)，则 (m \perp \beta)
圆 (x^2 + y^2 = 4) 与圆 (x^2 + y^2 - 4x + 4y - 12 = 0) 的公共弦所在直线的方程为（ ） A. (x - y + 2 = 0) B. (x - y - 2 = 0) C. (x + y + 2 = 0) D. (x + y - 2 = 0)
已知直线 (l: x - y + 3 = 0) 与圆 (C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4)，则直线 (l) 被圆 (C) 截得的弦长为（ ） A. (\sqrt{2}) B. (2) C. (2\sqrt{2}) D. (4)
在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，异面直线 (A_1B) 与 (AD_1) 所成角的大小为（ ） A. (30^\circ) B. (45^\circ) C. (60^\circ) D. (90^\circ)
已知点 (P(x, y)) 在圆 (x^2 + (y-1)^2 = 1) 上运动，则 (\frac{y-1}{x-2}) 的最大值为（ ） A. (\sqrt{3}) B. (\frac{\sqrt{3}}{3}) C. (\frac{2\sqrt{3}}{3}) D. (\frac{\sqrt{3}}{2})
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知两点 (A(0, 1), B(4, 5))，则 (|AB| =)__。
已知圆锥的底面半径为 (2)，母线长为 (4)，则该圆锥的侧面积为__。
过点 (P(2, -1)) 且与直线 (3x - 2y + 6 = 0) 平行的直线方程为__。
在棱长为 (2) 的正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，点 (M) 是棱 (CC_1) 的中点，则三棱锥 (M-BCD) 的体积为__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分） 已知三角形 (ABC) 的三个顶点分别为 (A(1, 0), B(4, 3), C(2, 5))。 （1）求边 (BC) 所在直线的方程； （2）求边 (BC) 上的高 (AD) 所在直线的方程。
（12分） 如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 是正方形，(PA \perp) 底面 (ABCD)。 （1）求证：(BD \perp) 平面 (PAC)； （2）若 (PA = AB = 2)，求四棱锥 (P-ABCD) 的体积。
（12分） 已知圆 (C) 的圆心在直线 (y = 2x) 上，且经过点 (A(3, 2)) 和 (B(1, 4))。 （1）求圆 (C) 的标准方程； （2）判断点 (P(2, 3)) 与圆 (C) 的位置关系。
（12分） 已知圆 (M: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0)。 （1）求圆 (M) 关于直线 (x - y + 1 = 0) 对称的圆 (N) 的方程； （2）若直线 (l: y = kx) 与圆 (N) 相交于 (E, F) 两点，且 (|EF| = 2\sqrt{2})，求实数 (k) 的值。
（12分） 如图，在直三棱柱 (ABC-A_1B_1C_1) 中，(AC = BC = \frac{1}{2}AA_1 = 1)，(\angle ACB = 90^\circ)，(D) 是棱 (A_1B_1) 的中点。 （1）求证：(C_1D \perp) 平面 (AA_1B_1B)； （2）求点 (B) 到平面 (C_1AD) 的距离。
（12分） 在平面直角坐标系 (xOy) 中，已知圆 (O: x^2 + y^2 = 4) 和点 (A(6, 0))。 （1）过点 (A) 作圆 (O) 的切线，求切线的方程； （2）设点 (P) 为圆 (O) 上任意一点，求线段 (AP) 的中点 (M) 的轨迹方程。
2025年高中数学必修二综合测试卷（参考答案）
选择题
- B 2. A 3. A 4. A 5. A 6. A
- A 8. C 9. A 10. C 11. C 12. C
填空题13. (4\sqrt{2}) 14. (8\pi) 15. (3x - 2y - 8 = 0) 16. (\frac{2}{3})
解答题17. (1) 解：(k{BC} = \frac{5-3}{2-4} = -1)，由点斜式得 (y - 3 = -1 \cdot (x - 4))，即 (x + y - 7 = 0)。 (2) 解：(k{AD} = 1)，由点斜式得 (y - 0 = 1 \cdot (x - 1))，即 (x - y - 1 = 0)。
(1) 证明：∵ (PA \perp) 底面 (ABCD)，(BD \subset) 底面 (ABCD)，∴ (PA \perp BD)。 又∵ (ABCD) 是正方形，∴ (AC \perp BD)。 ∵ (PA \cap AC = A)，∴ (BD \perp) 平面 (PAC)。 (2) 解：体积 (V = \frac{1}{3} \times S_{正方形ABCD} \times PA = \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 2 = \frac{8}{3})。
(1) 解：设圆心 (C(a, 2a))，由 (|CA| = |CB|) 得： (\sqrt{(a-3)^2 + (2a-2)^2} = \sqrt{(a-1)^2 + (2a-4)^2})，解得 (a = 2)。 圆心 (C(2, 4))，半径 (r = |CA| = \sqrt{(2-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{5})。 圆的标准方程为：((x-2)^2 + (y-4)^2 = 5)。 (2) 解：(|PC| = \sqrt{(2-2)^2 + (3-4)^2} = 1 < \sqrt{5})，∴ 点 (P) 在圆 (C) 内部。
(1) 解：圆 (M: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4)，圆心 (M(1, 2))，半径 (r=2)。 设圆心 (M) 关于直线 (x - y + 1 = 0) 的对称点为 (N(a, b))。 则有 (\frac{b-2}{a-1} \times 1 = -1) 且 (\frac{a+1}{2} - \frac{b+2}{2} + 1 = 0)，解得 (a=1, b=0)。 圆 (N) 的方程为：((x-1)^2 + y^2 = 4)。 (2) 解：圆心 (N(1,0)) 到直线 (y=kx) 的距离 (d = \frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}})。 弦长 (|EF| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \frac{k^2}{k^2+1}} = 2\sqrt{2})。 解得 (k = \pm 1)。
(1) 证明：连接 (AB_1)，在直三棱柱中，(B_1C_1 \perp) 平面 (AA_1B_1B)，∴ (B_1C_1 \perp C_1D)。 计算可得 (A_1D = B_1D = \frac{\sqrt{2}}{2})，(C_1D = \sqrt{C_1B_1^2 + B_1D^2} = \frac{\sqrt{6}}{2})，(A_1C_1 = \sqrt{2})。 满足 (A_1C_1^2 = A_1D^2 + C_1D^2)，∴ (C_1D \perp A_1D)。 又 (A_1D \cap B_1C_1 = B_1)，∴ (C_1D \perp) 平面 (AA_1B1B)。 (2) 解：利用等体积法 (V{B-C1AD} = V{C1-ABD})。 (V{C1-ABD} = \frac{1}{3} \times S{\triangle ABD} \times C1D = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) \times \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{12})。 (S{\triangle C_1AD} = \frac{1}{2} \times AD \times C_1D = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2})。 设点 (B) 到平面 (C_1AD) 的距离为 (h)，则 (\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times h = \frac{\sqrt{6}}{12})，解得 (h = \frac{\sqrt{2}}{2})。
(1) 解：当切线斜率存在时，设切线方程为 (y = k(x-6))，即 (kx - y - 6k = 0)。 圆心 ((0,0)) 到直线的距离 (d = \frac{|-6k|}{\sqrt{k^2+1}} = 2)，解得 (k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4})。 当斜率不存在时，直线 (x=6) 与圆相离，不满足。 故切线方程为 (y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}(x-6))。 (2) 解：设 (M(x, y))，(P(x_0, y_0))，则 (x_0^2 + y_0^2 = 4)。 由中点坐标公式得 (x_0 = 2x - 6)，(y_0 = 2y)。 代入圆方程得 ((2x-6)^2 + (2y)^2 = 4)，即 ((x-3)^2 + y^2 = 1)。 故点 (M) 的轨迹方程为 ((x-3)^2 + y^2 = 1)。