- 本试卷共4页，满分150分,考试时间120分钟。
- 答题前，请确认你的电子课本已更新至最新版本,并已复习相关章节。
- 所有答案需写在答题卡上,写在试卷上无效。
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
（电子课本第六章）已知向量 (\vec{a} = (2, -1))，(\vec{b} = (m, 3))，若 (\vec{a} \perp \vec{b})，则实数 (m) 的值为（ ） A. (\frac{3}{2}) \quad B. (-\frac{3}{2}) \quad C. 3 \quad D. -3
（电子课本第七章）复数 (z = \frac{1+i}{1-i})（(i) 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 \quad B. 第二象限 \quad C. 第三象限 \quad D. 第四象限
（电子课本第八章）已知一个圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 (\frac{2\pi}{3}) 的扇形，则该圆锥的母线长为（ ） A. 3 \quad B. 4 \quad C. 5 \quad D. 6
（电子课本第九章）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2人参加社区服务，则甲被选中的概率为（ ） A. (\frac{1}{4}) \quad B. (\frac{1}{3}) \quad C. (\frac{1}{2}) \quad D. (\frac{2}{3})
（电子课本第十章）在 (\triangle ABC) 中，角 (A, B, C) 所对的边分别为 (a, b, c)，若 (a=2, b=\sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3})，则角 (B) 等于（ ） A. (\frac{\pi}{6}) \quad B. (\frac{\pi}{3}) \quad C. (\frac{\pi}{6}) 或 (\frac{5\pi}{6}) \quad D. (\frac{\pi}{3}) 或 (\frac{2\pi}{3})
（电子课本第六章）已知点 (A(1, 2))，(B(4, 5))，则与向量 (\overrightarrow{AB}) 方向相同的单位向量为（ ） A. ((\frac{3}{5}, \frac{3}{5})) \quad B. ((\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{3}{5\sqrt{2}})) \quad C. ((\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})) \quad D. ((\frac{3}{\sqrt{18}}, \frac{3}{\sqrt{18}}))
（电子课本第七章）设复数 (z) 满足 (|z - i| = 1)，则 (|z|) 的最大值为（ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
（电子课本第九章）一个袋子中装有3个红球和2个白球，从中依次不放回地摸取两个球，则两个球颜色相同的概率为（ ） A. (\frac{2}{5}) \quad B. (\frac{3}{5}) \quad C. (\frac{1}{2}) \quad D. (\frac{2}{3})
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
（电子课本第八章）下列命题中，正确的是（ ） A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥 C. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
（电子课本第十章）在 (\triangle ABC) 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ） A. (a=7, b=5, A=\frac{\pi}{4}) \quad B. (a=5, b=4, A=\frac{2\pi}{3}) C. (a=6, b=6\sqrt{3}, A=\frac{\pi}{6}) \quad D. (a=3\sqrt{2}, b=6, A=\frac{\pi}{4})
（电子课本第六章）已知向量 (\vec{a}, \vec{b}) 满足 (|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 1)，则下列说法正确的是（ ） A. (|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}) \quad B. 向量 (\vec{a}) 与 (\vec{b}) 的夹角为 (\frac{\pi}{3}) C. (|2\vec{a} - \vec{b}| = 2) \quad D. ((\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{a})
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
（电子课本第七章）若复数 (z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 3m)i) 是纯虚数，则实数 (m =)__。
（电子课本第八章）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 (2\sqrt{3})，则该正四棱锥的体积为__。
（电子课本第九章）某学校高一有男生400人，女生600人，用分层随机抽样的方法从高一全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中男生的人数为__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）（电子课本第六章） 已知平面向量 (\vec{a} = (3, 2))，(\vec{b} = (-1, 4))。 （1）求 (2\vec{a} - \vec{b}) 的坐标及 (|2\vec{a} - \vec{b}|)； （2）若向量 (\vec{c}) 满足 (\vec{c} \parallel \vec{a})，且 (\vec{c} \cdot \vec{b} = 10)，求向量 (\vec{c}) 的坐标。
（15分）（电子课本第七章 & 第十章） 在复平面内，复数 (z_1 = 1 + i)，(z_2 = 2 - 3i)。 （1）求 (z_1 \cdot z_2) 及 (\frac{z_1}{z_2})； （2）若复数 (z) 满足 (|z - z_1| = |z - z_2|)，求复数 (z) 在复平面内对应点的轨迹方程。
（15分）（电子课本第八章） 如图，在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，棱长为 (a)。 （1）求证：直线 (BD \perp) 平面 (ACC_1A_1)； （2）求三棱锥 (B_1-ABC) 的体积。
（17分）（电子课本第九章） 某校举办“数学文化节”知识竞赛，分为初赛和决赛，初赛采用线上答题形式，从所有参赛同学中随机抽取100人的成绩（满分100分）进行统计，得到频率分布直方图如下（数据缺失，请根据描述作答）： （描述：直方图由左至右各小组频率分别为：0.05， 0.15， 0.30， 0.25， 0.15， 0.10） （1）求抽取的100人成绩的平均数（同一组数据用该组区间中点值代替）和80%分位数； （2）若决赛入围分数线定为初赛成绩的第80百分位数，且已知甲同学的初赛成绩为76分，问甲同学能否入围决赛？说明理由。
（17分）（电子课本第十章） 在 (\triangle ABC) 中，角 (A, B, C) 的对边分别为 (a, b, c)，且满足 (b \cos C + c \cos B = 2a \cos A)。 （1）求角 (A) 的大小； （2）若 (a = 2\sqrt{3})，且 (\triangle ABC) 的面积为 (3\sqrt{3})，求 (\triangle ABC) 的周长。
（试卷结束）
2025年高一数学下册期末测试卷（电子课本版）参考答案及评分标准
选择题
A \quad 2. A \quad 3. D \quad 4. C \quad 5. A \quad 6. D \quad 7. C \quad 8. A
多选题9. AD \quad 10. AC \quad 11. BC
填空题12. 2 \quad 13. (\frac{32\sqrt{2}}{3}) \quad 14. 20
解答题15. （13分） 解：（1）(2\vec{a} - \vec{b} = 2(3,2) - (-1,4) = (6+1, 4-4) = (7, 0)) \hfill (3分) (|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7) \hfill (5分) （2）设 (\vec{c} = \lambda \vec{a} = (3\lambda, 2\lambda))， \hfill (7分) 因为 (\vec{c} \cdot \vec{b} = 10)，((3\lambda, 2\lambda) \cdot (-1, 4) = -3\lambda + 8\lambda = 5\lambda = 10)， \hfill (10分) 解得 (\lambda = 2)， \hfill (12分) (\vec{c} = (6, 4))。 \hfill (13分)
（15分） 解：（1）(z_1 \cdot z_2 = (1+i)(2-3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i)。 \hfill (4分) (\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{2-3i} = \frac{(1+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{2+3i+2i+3i^2}{4+9} = \frac{-1+5i}{13} = -\frac{1}{13} + \frac{5}{13}i)。 \hfill (8分) （2）设 (z = x + yi \ (x, y \in \mathbb{R}))， \hfill (9分) 由 (|z - z_1| = |z - z_2|)，得 (|(x-1)+(y-1)i| = |(x-2)+(y+3)i|)， \hfill (11分) 即 (\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2})， \hfill (13分) 两边平方整理得：(2x - 8y - 11 = 0)。 \hfill (15分) 故点 (Z) 的轨迹方程为直线 (2x - 8y - 11 = 0)。
（15分） （1）证明：在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中， ∵ (BB_1 \perp) 平面 (ABCD)，(BD \subset) 平面 (ABCD)，∴ (BB_1 \perp BD)。 \hfill (2分) 又∵ (ABCD) 为正方形，∴ (AC \perp BD)。 \hfill (4分) 而 (AC \cap BB_1 = B)，(AC, BB_1 \subset) 平面 (ACC_1A_1)（或平面 (BB_1D_1D)，此处需说明 (BB_1) 在面 (ACC_1A_1) 内，严谨证明应连接 (B_1D_1) 等，标准答案中此步略作调整：连接(AC,BD)交于O，易知(BD \perp AC, BD \perp AA_1)，故(BD \perp)面(ACC_1A_1)）， \hfill (6分) ∴ (BD \perp) 平面 (ACC_1A1)。 \hfill (7分) （2）解：∵ 棱长为 (a)， ∴ (S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2}a^2)。 \hfill (10分) 点 (B_1) 到平面 (ABC)（即平面 (ABCD)）的距离为 (BB_1 = a)。 \hfill (13分) ∴ 三棱锥 (B1-ABC) 的体积 (V = \frac{1}{3} \times S{\triangle ABC} \times BB_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}a^2 \times a = \frac{a^3}{6})。 \hfill (15分)
（17分） 解：（1）平均数 (\bar{x} = 55 \times 0.05 + 65 \times 0.15 + 75 \times 0.30 + 85 \times 0.25 + 95 \times 0.15 + 105 \times 0.10 = 82)。 \hfill (5分) ∵ 前四组频率之和为 (0.05+0.15+0.30+0.25=0.75<0.8)， 前五组频率之和为 (0.75+0.15=0.9>0.8)， \hfill (8分) ∴ 第80百分位数位于第五组 ([90,100)) 内。 \hfill (10分) 设第80百分位数为 (x)，则 (0.75 + (x-90) \times 0.015 = 0.8)， \hfill (12分) 解得 (x \approx 93.33)。 \hfill (14分) （2）∵ 甲同学成绩76分 < 93.33分（入围分数线）， \hfill (16分) ∴ 甲同学不能入围决赛。 \hfill (17分)
（17分） 解：（1）由正弦定理，及 (b \cos C + c \cos B = 2a \cos A)， 得 (\sin B \cos C + \sin C \cos B = 2 \sin A \cos A)， \hfill (3分) 即 (\sin(B+C) = 2 \sin A \cos A)。 \hfill (5分) 在 (\triangle ABC) 中，(\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A)，且 (\sin A > 0)， \hfill (7分) 故 (\sin A = 2 \sin A \cos A)，即 (\cos A = \frac{1}{2})。 \hfill (9分) 又 (A \in (0, \pi))，(A = \frac{\pi}{3})。 \hfill (10分) （2）由 (S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A = 3\sqrt{3})，且 (A=\frac{\pi}{3})，得 (\frac{1}{2}bc \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3})，即 (bc = 12)。 \hfill (12分) 由余弦定理 (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A)，得 ((2\sqrt{3})^2 = b^2 + c^2 - 2 \times 12 \times \frac{1}{2})， \hfill (14分) 即 (12 = b^2 + c^2 - 12)，(b^2 + c^2 = 24)。 \hfill (15分) 则 ((b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 24 + 24 = 48)，故 (b+c = 4\sqrt{3})（负值舍去）。 \hfill (16分) (\triangle ABC) 的周长为 (a + b + c = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3})。 \hfill (17分)
（参考答案结束）