高一下学期期末数学试卷（2025）

120分钟 满分：150分

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } )
   B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } )
   C. ( { x \mid 0 < x < 3 } )
   D. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } )

2. 已知复数 ( z = \frac{2-i}{1+i} )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限
   B. 第二象限
   C. 第三象限
   D. 第四象限

3. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b}) )，则实数 ( m = )（ ） A. 3
   B. -3
   C. 5
   D. -5

4. 函数 ( f(x) = \frac{\sqrt{4-x}}{x-1} ) 的定义域为（ ） A. ( (-\infty, 4] )
   B. ( (-\infty, 1) \cup (1, 4] )
   C. ( (-\infty, 1) \cup (1, 4) )
   D. ( [4, +\infty) )

5. 已知 ( \alpha ) 为第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \tan(\pi + \alpha) = )（ ） A. ( \frac{3}{4} )
   B. ( -\frac{3}{4} )
   C. ( \frac{4}{3} )
   D. ( -\frac{4}{3} )

6. 已知 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 6 )，( c = 0.5^{-0.2} )，则（ ） A. ( a < b < c )
   B. ( b < a < c )
   C. ( c < b < a )
   D. ( b < c < a )

7. 已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则 ( f(x) ) 的解析式可能为（ ） （图略，描述：图象过点 ( (0, \frac{1}{2}) )，相邻最高点与最低点横坐标差为 ( \pi )） A. ( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) )
   B. ( f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) )
   C. ( f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6}) )
   D. ( f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{6}) )

8. 在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，若 ( \frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3}\cos B}{b} )，且 ( \sin C = 2 \sin B )，则 ( \triangle ABC ) 的形状为（ ） A. 等腰三角形
   B. 直角三角形
   C. 等腰直角三角形
   D. 等边三角形

多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 + 1 )
   B. ( y = |x| + \frac{1}{|x|} )
   C. ( y = 2^{|x|} )
   D. ( y = \log_2 |x| )

10. 已知 ( m, n ) 是两条不同的直线，( \alpha, \beta ) 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ( m \parallel \alpha )，( n \parallel \alpha )，则 ( m \parallel n )
    B. 若 ( m \perp \alpha )，( n \perp \alpha )，则 ( m \parallel n )
    C. 若 ( m \perp \alpha )，( m \perp \beta )，则 ( \alpha \parallel \beta )
    D. 若 ( m \parallel n )，( n \subset \alpha )，则 ( m \parallel \alpha )

11. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leq 1 \ \log_2 x, & x > 1 \end{cases} )，则下列结论正确的是（ ） A. ( f(x) ) 的值域为 ( (-\infty, 1] )
    B. ( f(x) ) 的图象关于直线 ( x = 1 ) 对称
    C. 方程 ( f(x) = \frac{1}{2} ) 有两个不相等的实数根
    D. 若 ( f(a) = f(b) ) 且 ( a \neq b )，则 ( a + b > 2 )

填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）

12. 已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( f(2) = )__。

13. 已知圆锥的底面半径为 ( 2 )，母线长为 ( 4 )，则该圆锥的侧面积为__。

14. 已知函数 ( f(x) = \sin x + \cos x ) 在 ( x = \theta ) 处取得最大值，则 ( \sin 2\theta = )__。

解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15. （13分）已知 ( \triangle ABC ) 的内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。 （1）求角 ( C ) 的大小； （2）若 ( c = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{3} )，求 ( a + b ) 的值。

16. （15分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，点 ( E, F ) 分别为 ( PB, PD ) 的中点。 （1）求证：( EF \parallel ) 平面 ( ABCD )； （2）求点 ( C ) 到平面 ( AEF ) 的距离。

17. （15分）已知函数 ( f(x) = 2\sqrt{3}\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的单调递增区间； （2）将函数 ( f(x) ) 的图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ( \frac{1}{2} ) 倍（纵坐标不变），得到函数 ( g(x) ) 的图象，当 ( x \in [0, \frac{\pi}{4}] ) 时，求函数 ( g(x) ) 的值域。

18. （17分）已知函数 ( f(x) = \log_2(4^x + 1) - kx ) 为偶函数。 （1）求实数 ( k ) 的值； （2）若关于 ( x ) 的不等式 ( f(x) - \log_2(a \cdot 2^x - a) > 0 ) 在区间 ( [1, 2] ) 上恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。

19. （17分）对于函数 ( f(x) )，若存在实数 ( x_0 )，使得 ( f(x_0) = x_0 )，则称 ( x_0 ) 为函数 ( f(x) ) 的“不动点”。 （1）求函数 ( f(x) = 2^x + x - 4 ) 的“不动点”； （2）若函数 ( g(x) = \log_a (3^x - 2) ) （( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）在区间 ( [1, 2] ) 上存在“不动点”，求实数 ( a ) 的取值范围； （3）设函数 ( h(x) = x^2 + bx + c ) （( b, c \in \mathbb{R} )），若函数 ( h(x) ) 有两个相异的“不动点” ( x_1, x_2 )，且 ( |x_1| < 2 )，( |x_2| < 2 )，求 ( b^2 - 4c ) 的最小值。

高一下学期期末数学试卷（2025）参考答案

选择题

1. A
2. D
3. C
4. B
5. B
6. D
7. A
8. B

多选题

9. AC
10. BC
11. CD

填空题

12. 16
13. ( 8\pi )
14. 1

解答题

15. （1）由正弦定理及已知得：
    [ \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{2\cos C}{\sin C} ] 即 ( \cot A + \cot B = 2\cot C )。
    又 ( \cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} )，
    ( \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = 2\cot C = 2\frac{\cos C}{\sin C} )，
    整理得 ( \sin^2 C = 2\sin A \sin B \cos C )。
    由正弦定理 ( \sin^2 C = 2\sin A \sin B \cos C ) 等价于 ( c^2 = 2ab\cos C )。
    由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C )，
    ( a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 2ab\cos C )，
    即 ( a^2 + b^2 = 4ab\cos C )。
    又由均值不等式 ( a^2 + b^2 \geq 2ab )，
    ( 4ab\cos C \geq 2ab )，即 ( \cos C \geq \frac{1}{2} )，当且仅当 ( a = b ) 时取等号。
    因为 ( C \in (0, \pi) )，( C \leq \frac{\pi}{3} )。
    又由题意，等号可以成立，故 ( C = \frac{\pi}{3} )。

（2）由 ( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{3} )，且 ( C = \frac{\pi}{3} )，
得 ( ab = 4 )。
由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C )，
即 ( 12 = a^2 + b^2 - 4 )，( a^2 + b^2 = 16 )。
( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 16 + 8 = 24 )，
故 ( a+b = 2\sqrt{6} )。

16. （1）证明：在 ( \triangle PBD ) 中，( E, F ) 分别为 ( PB, PD ) 的中点，
    ( EF \parallel BD )。
    又 ( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，( EF \not\subset ) 平面 ( ABCD )，
    ( EF \parallel ) 平面 ( ABCD )。

（2）解法一：因为 ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( AB \subset ) 平面 ( ABCD )，
( PA \perp AB )，又底面 ( ABCD ) 为正方形，( AB \perp AD )。
以 ( A ) 为坐标原点，( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AP} ) 的方向分别为 ( x, y, z ) 轴正方向建立空间直角坐标系。
则 ( A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) )。
因为 ( E, F ) 分别为 ( PB, PD ) 的中点，
( E(1,0,1), F(0,1,1) )。
设平面 ( AEF ) 的法向量为 ( \vec{n} = (x,y,z) )，
( \overrightarrow{AE} = (1,0,1), \overrightarrow{AF} = (0,1,1) )，
由 ( \begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AE} = x + z = 0 \ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AF} = y + z = 0 \end{cases} )，取 ( z = -1 )，则 ( x = 1, y = 1 )，
( \vec{n} = (1,1,-1) )。
又 ( \overrightarrow{AC} = (2,2,0) )，
所以点 ( C ) 到平面 ( AEF ) 的距离
[ d = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|2+2+0|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}. ]

解法二（等体积法）：
( V{C-AEF} = V{F-AEC} )。
计算得 ( S{\triangle AEF} = \frac{\sqrt{3}}{2} )，( S{\triangle AEC} = \frac{1}{2} )，
由 ( \frac{1}{3} \cdot S{\triangle AEF} \cdot d = \frac{1}{3} \cdot S{\triangle AEC} \cdot h_F )（( h_F ) 为点 ( F ) 到平面 ( AEC ) 的距离，可求），
最终解得 ( d = \frac{4\sqrt{3}}{3} )。

17. （1）( f(x) = 2\sqrt{3}\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1 = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) )。
    令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} )，
    解得 ( -\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z} )。
    所以函数 ( f(x) ) 的单调递增区间为 ( [-\frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi], k \in \mathbb{Z} )。

（2）将 ( f(x) ) 图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位得：
( y = 2\sin[2(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}] = 2\sin(2x - \frac{\pi}{6}) )。
再将横坐标缩短到原来的 ( \frac{1}{2} ) 倍得：
( g(x) = 2\sin(4x - \frac{\pi}{6}) )。
当 ( x \in [0, \frac{\pi}{4}] ) 时，( 4x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] )，
( \sin(4x - \frac{\pi}{6}) \in [-\frac{1}{2}, 1] )，
故 ( g(x) \in [-1, 2] )。

18. （1）因为 ( f(x) ) 为偶函数，( f(-x) = f(x) ) 对任意 ( x \in \mathbb{R} ) 成立。
    即 ( \log_2(4^{-x} + 1) + kx = \log_2(4^x + 1) - kx )。
    整理得 ( 2kx