2025学年高中数学必修一综合测试卷（带答案）

选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { 1, 2, 3 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( {1} )
   B. ( {2} )
   C. ( {1, 2} )
   D. ( {1, 2, 3} )

2. 函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为（ ）
   A. ( [1, +\infty) )
   B. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) )
   C. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) )
   D. ( [1, 3) )

3. 若 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
   A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
   B. ( a^2 < b^2 )
   C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
   D. ( |a| < |b| )

4. 已知函数 ( f(x) = 2x - 1 )，则 ( f(f(2)) = )（ ）
   A. 3
   B. 5
   C. 7
   D. 9

5. 命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ）
   A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
   B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
   C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 )
   D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0 )

6. 若 ( x > 0 )，则 ( x + \frac{4}{x} ) 的最小值为（ ）
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 5

7. 函数 ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ) 的单调递减区间为（ ）
   A. ( (-\infty, 2] )
   B. ( [2, +\infty) )
   C. ( (-\infty, 3] )
   D. ( [3, +\infty) )

8. 已知 ( f(x) ) 是奇函数，当 ( x > 0 ) 时 ( f(x) = x^2 + 2x )，则 ( f(-1) = )（ ）
   A. -3
   B. -1
   C. 1
   D. 3

填空题（每题5分，共20分）
9. 设全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 5} )，则 ( \complement_U (A \cup B) = )__。

10. 若 ( x > 1 )，则 ( \frac{x^2 - 1}{x - 1} = )__。

11. 函数 ( y = \frac{2}{x-1} ) 的图像可由函数 ( y = \frac{2}{x} ) 的图像向__平移__个单位得到。

12. 已知 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & (x \leq 0) \ -2x + 3 & (x > 0) \end{cases} )，则 ( f(f(-1)) = )__。

解答题（共40分）
13. （10分）解不等式：
[ \frac{x-1}{x+2} \leq 0 ]

14. （10分）已知二次函数 ( f(x) = x^2 + bx + c ) 满足 ( f(1) = 0 )，( f(3) = 0 )。
    （1）求 ( b, c ) 的值；
    （2）求 ( f(x) ) 在区间 ( [-1, 2] ) 上的最大值和最小值。

15. （10分）已知函数 ( f(x) = \frac{x}{x+1} )。
    （1）判断 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上的单调性，并证明；
    （2）解方程 ( f(x) = \frac{1}{2} )。

16. （10分）设集合 ( A = { x \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0 } )，( B = { x \mid x^2 - ax + 9 \leq 0 } )。
    （1）若 ( A \cap B = B )，求实数 ( a ) 的取值范围；
    （2）若 ( A \cup B = \mathbb{R} )，求实数 ( a ) 的取值范围。

参考答案
一、选择题

1. C
2. B
3. C
4. B
5. B
6. C
7. A
8. A

填空题
9. ( {4} )
10. ( x + 1 )
11. 右，1
12. 2

解答题
13. 解：由分式不等式性质，( \frac{x-1}{x+2} \leq 0 ) 等价于 ( (x-1)(x+2) \leq 0 ) 且 ( x \neq -2 )。
解得 ( -2 < x \leq 1 )，即解集为 ( (-2, 1] )。

14. 解：
    （1）由题意，( 1 ) 和 ( 3 ) 是方程 ( x^2 + bx + c = 0 ) 的两根，
    故 ( b = -(1+3) = -4 )，( c = 1 \times 3 = 3 )。
    （2）( f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1 )，
    对称轴 ( x = 2 \in [-1, 2] )，开口向上，
    最小值为 ( f(2) = -1 )，最大值为 ( f(-1) = 8 )。

15. 解：
    （1）在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增。
    证明：设 ( 0 < x_1 < x_2 )，
    ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1+1} - \frac{x_2}{x_2+1} = \frac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)} < 0 )，
    故 ( f(x_1) < f(x_2) )，单调递增。
    （2）由 ( \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} ) 得 ( 2x = x+1 )，解得 ( x = 1 )。

16. 解：
    （1）( A = [1, 3] )，由 ( A \cap B = B ) 得 ( B \subseteq A )。
    设 ( g(x) = x^2 - ax + 9 )，
    则需 ( \begin{cases} g(1) \leq 0 \ g(3) \leq 0 \end{cases} ) 且对称轴在 ( [1, 3] ) 内（结合二次函数性质），
    解得 ( a \in [6, 10] )。
    （2）若 ( A \cup B = \mathbb{R} )，则需 ( B ) 包含 ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) )，
    结合二次函数开口向上，需 ( g(x) \leq 0 ) 在 ( [1, 3] ) 上恒成立，
    即 ( \begin{cases} g(1) \leq 0 \ g(3) \leq 0 \end{cases} )，解得 ( a \in [6, 10] )。

试卷说明：本试卷依据2022年高中数学必修一课本（人教版）知识点命题，涵盖集合、函数性质、不等式、二次函数等内容，难度适中，适用于高一上学期期末复习。