选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
算法有三种基本逻辑结构，它们是（ ） A. 顺序结构，条件结构，循环结构 B. 顺序结构，流程结构，循环结构 C. 顺序结构，分支结构，流程结构 D. 流程结构，条件结构，循环结构
将二进制数1101(2)转化为十进制数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
某校高一年级有800名学生，现用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本进行视力调查，则分段间隔为（ ） A. 16 B. 20 C. 40 D. 50
执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的y值为（ ） （图略：一个简单的条件结构框图，判断x>0，是则y=2x+1，否则y=x-3） A. 5 B. -1 C. 7 D. 2
从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有一个红球”与“都是红球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ） A. “至少有1名男生”与“全是男生” B. “至少有1名男生”与“全是女生” C. “至少有1名男生”与“至少有1名女生” D. “恰有1名男生”与“恰有2名男生”
在区间[-2, 3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（ ） A. (\frac{2}{5}) B. (\frac{3}{5}) C. (\frac{1}{5}) D. (\frac{4}{5})
已知一组数据x1, x2, ..., xn的平均数为(\bar{x})，方差为s²，则数据2x1+3, 2x2+3, ..., 2xn+3的平均数和方差分别为（ ） A. (2\bar{x}+3, 2s^2) B. (2\bar{x}+3, 4s^2) C. (2\bar{x}, 4s^2) D. (2\bar{x}+3, 4s^2+3)
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） （图略：一个简单的循环结构，初始值a=1，S=0；判断S≤10，是则S=S+a，a=a+1，否则输出a） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A. (\frac{1}{6}) B. (\frac{1}{4}) C. (\frac{1}{3}) D. (\frac{1}{2})
如图是某公司2024年各月利润的折线统计图，下列说法错误的是（ ） （图略：假设一个趋势先升后降的折线图） A. 4月利润最低 B. 从8月到10月利润在下降 C. 利润最高的月份是7月 D. 这12个月利润的中位数高于450万元（假设图中值域合理）
在边长为4的正方形ABCD内任取一点P，则点P到正方形四个顶点的距离均大于2的概率为（ ） A. (1 - \frac{\pi}{4}) B. (\frac{\pi}{4}) C. (1 - \frac{\pi}{16}) D. (\frac{\pi}{16})
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
用秦九韶算法计算多项式(f(x)=2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6)当(x=2)时的值，需要进行次乘法和次加法。
一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，若第一组抽取的号码为6,则第8组抽取的号码是____。
向图中所示的正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分（曲线C为(y=\sqrt{x})的图象）的概率为____。 （图略：正方形为边长1,曲线下方为阴影）
执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是____。 （图略：一个循环结构，用于计算阶乘，p=1，k=1；判断k<N，是则p=p*k，k=k+1,否则输出p）
解答题（本大题共6小题，共70分）
（10分）设计一个算法，求满足1+2+3+…+n>1000的最小正整数n，画出程序框图，并写出对应的程序语句（使用While循环）。
（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)，[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]分组的频率分布直方图如图所示。 （1）求直方图中x的值； （2）求月平均用电量的中位数； （3）在月平均用电量为[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取多少户？
（12分）袋中有红、白两种颜色的小球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为(\frac{1}{7})，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一个球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止。 （1）求袋中原有白球的个数； （2）求甲取到白球的概率。
（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中一等奖；若摸出的2个球颜色不同则中二等奖；若摸出的2个球都是白球则中三等奖。 （1）求顾客中一等奖的概率； （2）求顾客中奖的概率。
（12分）为了解某地区中学生近视情况，随机抽取了100名男生和100名女生进行调查，其中男生近视人数为60，女生近视人数为70。 （1）根据以上数据完成2×2列联表； （2）判断是否有95%的把握认为该地区中学生近视与性别有关？ 附：(K^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}) (P(K^2 \ge k_0)) 0.10 0.05 0.025 0.010 (k_0) 2.706 3.841 5.024 6.635
（12分）已知关于x的一元二次方程(x^2 - 2(a-2)x - b^2 + 16 = 0)。 （1）若a，b是一枚骰子先后掷两次出现的点数，求方程有实根的概率； （2）若a∈[0, 6]，b∈[0, 4],求方程有实根的概率。
2025年高中数学必修三人教版综合测试卷 参考答案
选择题
A 2. D 3. A 4. A 5. D 6. D 7. B 8. B 9. C 10. C 11. D (假设中位数低于450) 12. A
填空题13. 4， 4 14. 76 15. (\frac{1}{3}) 16. 720
解答题17.算法与框图：
- 算法步骤：
- 令S=0， n=0。
- n = n + 1。
- S = S + n。
- 判断 S > 1000 是否成立，若不成立，返回步骤2；若成立,输出n。
- 程序框图：（略,按步骤画）
- 程序语句（伪代码）：
S = 0 n = 0 While S <= 1000 n = n + 1 S = S + n Wend Print n
解： （1）由(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025) × 20 = 1，解得 x = 0.0075。 （2）∵ (0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 = 0.45 < 0.5， (0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125) × 20 = 0.7 > 0.5， ∴ 中位数在[220, 240)内，设为m。 则 0.45 + (m - 220) × 0.0125 = 0.5，解得 m = 224。 故中位数为224度。 （3）四组频率之和为 (0.0125 + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) × 20 = 0.55。 在[220, 240)内的频率为 0.0125 × 20 = 0.25。 应抽取户数为 (11 \times \frac{0.25}{0.55} = 5)。
解： （1）设袋中原有白球n个，则红球(7-n)个。 由题意知，(\frac{C_n^2}{C_7^2} = \frac{1}{7})，即 (\frac{n(n-1)}{42} = \frac{1}{7})，解得 n=3 或 n=-2（舍）。 故袋中原有3个白球。 （2）甲取到白球的事件可能发生在第一次、第三次或第五次。 P(第一次取到) = (\frac{3}{7}) P(第三次取到) = (\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{35}) P(第五次取到) = (\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{1}{35}) 故甲取到白球的概率为 (P = \frac{3}{7} + \frac{6}{35} + \frac{1}{35} = \frac{22}{35})。
解： （1）记甲箱中摸出红球为事件A，乙箱中摸出红球为事件B。 P(一等奖) = P(AB) = P(A)P(B) = (\frac{4}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{20}{100} = 0.2)。 （2）P(二等奖) = P(A(\bar{B})) + P((\bar{A})B) = (\frac{4}{10} \times \frac{5}{10} + \frac{6}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{20}{100} + \frac{30}{100} = 0.5)。 P(三等奖) = P((\bar{A})(\bar{B})) = (\frac{6}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{30}{100} = 0.3)。 故顾客中奖的概率 P = 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0。（或直接：所有可能情况均中奖,故为1）
解： （1）2×2列联表如下： | | 近视 | 不近视 | 合计 | |------------|------|--------|------| | 男生 | 60 | 40 | 100 | | 女生 | 70 | 30 | 100 | | 合计 | 130 | 70 | 200 | （2）计算(K^2)的观测值： (K^2 = \frac{200 \times (60 \times 30 - 40 \times 70)^2}{100 \times 100 \times 130 \times 70} = \frac{200 \times (1800 - 2800)^2}{91000000} = \frac{200 \times 1000000}{91000000} \approx 2.198)。 由于 2.198 < 3.841，故没有95%的把握认为该地区中学生近视与性别有关。
解： （1）方程有实根的条件是 Δ = 4(a-2)² + 4(b² - 16) ≥ 0，即 (a-2)² + b² ≥ 16。 基本事件总数 n = 6 × 6 = 36。 满足条件的事件有：(6,4),(6,5),(6,6),(5,4),(5,5),(5,6),(4,4),(4,5),(4,6),(3,6),(2,6) 等，列举法得 m = 19。 故概率 P₁ = (\frac{19}{36})。 （2）试验的全部结果构成的区域为 Ω = {(a, b) | 0 ≤ a ≤ 6, 0 ≤ b ≤ 4}，面积 S_Ω = 24。 满足方程有实根的区域为 A = {(a, b) | (a-2)² + b² ≥ 16}。 在Ω内，(a-2)² + b² < 16 的区域是一个圆心在(2,0)，半径为4的半圆（在b≥0部分）的内部，其面积为 (\frac{1}{2} \times \pi \times 4^2 = 8\pi)。 故区域A的面积为 24 - 8π。 所求概率 P₂ = (\frac{24 - 8\pi}{24} = 1 - \frac{\pi}{3})。