选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
（空间几何体）一个棱锥的三视图如图所示（主视图和左视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形且有一条对角线为虚线），则该几何体的体积为（ ） A. (\frac{1}{6}) \quad B. (\frac{1}{3}) \quad C. (\frac{2}{3}) \quad D. 1
（点、直线、平面之间的位置关系）已知直线 (l)，(m) 和平面 (\alpha)，(\beta)，下列命题正确的是（ ） A. 若 (l \parallel \alpha)，(l \parallel \beta)，则 (\alpha \parallel \beta) B. 若 (l \perp \alpha)，(l \perp \beta)，则 (\alpha \parallel \beta) C. 若 (l \perp m)，(m \subset \alpha)，则 (l \perp \alpha) D. 若 (\alpha \perp \beta)，(l \subset \alpha)，则 (l \perp \beta)
（直线与方程）过点 (P(1, 2)) 且与直线 (2x - 3y + 1 = 0) 垂直的直线方程为（ ） A. (3x + 2y - 7 = 0) \quad B. (2x + 3y - 8 = 0) C. (3x - 2y + 1 = 0) \quad D. (2x - 3y + 4 = 0)
（圆与方程）圆心在直线 (y = 2x) 上，且与 (x) 轴相切于点 ((1, 0)) 的圆的方程为（ ） A. ((x-1)^2 + (y-2)^2 = 4) \quad B. ((x-1)^2 + (y-2)^2 = 1) C. ((x-1)^2 + (y-2)^2 = 2) \quad D. ((x+1)^2 + (y+2)^2 = 4)
（空间直角坐标系）在空间直角坐标系中，点 (A(1, 2, 3)) (xOy) 平面对称的点的坐标是（ ） A. ((-1, -2, -3)) \quad B. ((1, 2, -3)) C. ((-1, -2, 3)) \quad D. ((1, -2, 3))
（直线与圆的位置关系）直线 (y = x + b) 与曲线 (x = \sqrt{1-y^2}) 有两个公共点，则实数 (b) 的取值范围是（ ） A. ([-1, 1]) \quad B. ((-\sqrt{2}, \sqrt{2})) C. ([1, \sqrt{2})) \quad D. ((-1, 1])
（空间几何体的表面积与体积）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 (2\pi) 的正方形，则该圆柱的体积为（ ） A. (2\pi^2) \quad B. (\pi^2) \quad C. (2\pi^3) \quad D. (4\pi^3)
（综合）在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，异面直线 (A_1B) 与 (AD_1) 所成角的大小为（ ） A. (30^\circ) \quad B. (45^\circ) \quad C. (60^\circ) \quad D. (90^\circ)
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
（直线的方程）过点 ((-1, 3)) 且倾斜角是直线 (y=\sqrt{3}x) 倾斜角2倍的直线方程为__。
（圆的方程）已知圆 (C: x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0)，则圆心坐标为__，半径为__。
（空间中的平行与垂直）已知平面 (\alpha \parallel) 平面 (\beta)，直线 (a \subset \alpha)，直线 (b \subset \beta)，则直线 (a) 与 (b) 的位置关系是__。
（球）若一个球的体积为 (36\pi)，则它的表面积为__。
解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）（直线与方程） 已知三角形 (ABC) 的三个顶点为 (A(1, 2))，(B(3, 4))，(C(-1, 4))。 （1）求 (BC) 边上的高所在直线的方程； （2）求三角形 (ABC) 的面积。
（10分）（点、直线、平面之间的位置关系） 如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 是正方形，(PD \perp) 底面 (ABCD)。 （1）求证：(BC \perp PC)； （2）设 (PD = AD = 2)，求点 (D) 到平面 (PAC) 的距离。
（10分）（圆与方程） 已知圆 (C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25)，直线 (l: (2m+1)x + (m+1)y - 7m - 4 = 0 \quad (m \in \mathbb{R}))。 （1）证明：无论 (m) 为何实数，直线 (l) 恒过定点； （2）判断直线 (l) 与圆 (C) 的位置关系； （3）当直线 (l) 被圆 (C) 截得的弦长最短时，求直线 (l) 的方程及最短弦长。
（10分）（空间几何体与综合应用） 一个圆锥的底面半径为 (2)，高为 (6)。 （1）求该圆锥的表面积和体积； （2）在该圆锥内放置一个半径为 (1) 的小球，求小球所能达到的最高点到圆锥顶点的距离。
2025年高中数学必修二综合测试卷答案
选择题
- B （解析：由三视图可知为四棱锥，底面正方形边长为1，高为1，体积 (V=\frac{1}{3}\times 1^2 \times 1 = \frac{1}{3})）
- B （解析：垂直于同一直线的两平面平行）
- A （解析：所求直线斜率 (k=-\frac{3}{2})，由点斜式得 (y-2=-\frac{3}{2}(x-1))，即 (3x+2y-7=0)）
- A （解析：圆心在 (y=2x) 上且过切点 ((1,0)) 的垂线 (x=1)，得圆心 ((1,2))，半径 (r=2)）
- B （解析：(xOy) 平面对称，(z) 坐标取相反数）
- C （解析：曲线为圆 (x^2+y^2=1 \ (x \ge 0)) 的右半圆，数形结合，直线与半圆有两个交点，(b\in [1, \sqrt{2}))）
- C （解析：圆柱高 (h=2\pi)，底面周长 (2\pi r = 2\pi \Rightarrow r=1)，体积 (V=\pi r^2 h = \pi \times 1 \times 2\pi = 2\pi^3)）
- C （解析：连接 (D_1C)，则 (A_1B \parallel D_1C)，(\triangle AD_1C) 为等边三角形，故夹角为 (60^\circ)）
填空题9. (y=\sqrt{3}x + \sqrt{3} + 3) 或 (x = -1) （解析：直线 (y=\sqrt{3}x) 倾斜角为 (60^\circ)，所求倾斜角为 (120^\circ) 或 (0^\circ)（舍去？注意2倍角可能超180°，应检验），当倾斜角为120°时，斜率 (k=-\sqrt{3})，方程为 (y-3=-\sqrt{3}(x+1))；当倾斜角为0°时，方程为 (x=-1)，但若严格按2倍计算，(60^\circ \times 2 = 120^\circ)，故答案为 (y-3=-\sqrt{3}(x+1))，即 (y=-\sqrt{3}x + 3 - \sqrt{3})，原答案有误，已修正，但题目表述“倾斜角2倍”可能产生歧义，通常取0°到180°内的角，故120°是标准答案，若考虑周期，0°也成立，但一般取120°。）标准答案（修正后）：(y = -\sqrt{3}x + 3 - \sqrt{3}) 10. ((2, -1))，(2) （解析：配方得 ((x-2)^2 + (y+1)^2 = 4)） 11. 平行、异面或相交 （解析：两平面平行，内的直线无公共点，故可能平行或异面） 12. (36\pi) （解析：由 (\frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi) 得 (R=3)，表面积 (S=4\pi R^2 = 36\pi)）
解答题13. 解： （1）直线 (BC) 的斜率 (k_{BC} = \frac{4-4}{-1-3} = 0)，故 (BC) 边上的高垂直于 (x) 轴。 又高过点 (A(1,2))，所以方程为 (x=1)。 （2）由（1）知，高所在直线为 (x=1)，(BC) 所在直线为 (y=4)。 所以高长为 (|4-2|=2)，底边 (BC) 长为 (|3-(-1)|=4)。 所以三角形面积 (S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4)。
（1）证明：∵ (PD \perp) 底面 (ABCD)，(BC \subset) 底面 (ABCD)，∴ (PD \perp BC)。 又底面 (ABCD) 是正方形，∴ (BC \perp CD)。 ∵ (PD \cap CD = D)，(PD, CD \subset) 平面 (PCD)，∴ (BC \perp) 平面 (PCD)。 又 (PC \subset) 平面 (PCD)，∴ (BC \perp PC)。 （2）解：设点 (D) 到平面 (PAC) 的距离为 (h)。 由 (PD \perp) 底面 (ABCD)，且 (PD=AD=2)，得 (PD=DC=2)。 在正方形 (ABCD) 中，(AC = \sqrt{2}AD = 2\sqrt{2})。 在直角 (\triangle PDC) 中，(PC = \sqrt{PD^2 + DC^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2})。 在等腰 (\triangle PAC) 中，(PA = PC = 2\sqrt{2})，(AC = 2\sqrt{2})，(\triangle PAC) 是边长为 (2\sqrt{2}) 的等边三角形，面积 (S{\triangle PAC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{3})。 又 (S{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2)。 由 (V{P-ADC} = V{D-PAC}) 得：(\frac{1}{3} \times S{\triangle ADC} \times PD = \frac{1}{3} \times S{\triangle PAC} \times h)。 即 (\frac{1}{3} \times 2 \times 2 = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times h)，解得 (h = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3})。 所以点 (D) 到平面 (PAC) 的距离为 (\frac{2\sqrt{3}}{3})。
（1）证明：直线方程整理为 (m(2x+y-7) + (x+y-4) = 0)。 令 (\begin{cases} 2x+y-7=0 \ x+y-4=0 \end{cases})，解得 (\begin{cases} x=3 \ y=1 \end{cases})。 所以直线 (l) 恒过定点 (M(3,1))。 （2）圆 (C) 的圆心 (C(1,2))，半径 (r=5)。 (|CM| = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} < 5)。 所以定点 (M) 在圆 (C) 内部，因此无论 (m) 为何值，直线 (l) 与圆 (C) 恒相交。 （3）当直线 (l) 被圆 (C) 截得的弦长最短时，(CM \perp l)。 (k_{CM} = \frac{1-2}{3-1} = -\frac{1}{2})，所以直线 (l) 的斜率 (k = 2)。 又直线 (l) 过点 (M(3,1))，所以方程为 (y-1=2(x-3))，即 (2x-y-5=0)。 弦长 (L = 2\sqrt{r^2 - |CM|^2} = 2\sqrt{25 - 5} = 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5})。
解： （1）圆锥母线长 (l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10})。 表面积 (S = \pi r^2 + \pi r l = \pi \times 4 + \pi \times 2 \times 2\sqrt{10} = 4\pi + 4\sqrt{10}\pi)。 体积 (V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4 \times 6 = 8\pi)。 （2）作圆锥的轴截面，如图，(PA=PB=2\sqrt{10})，(AB=4)，(PO=6)。 小球在圆锥内与侧面、底面（或切于某水平面）相切时达到最高，考虑小球与圆锥侧面及底面（或某一水平截面）同时相切的情况，设小球球心为 (O_1)，过 (O_1) 作水平截面交 (PO) 于 (C)，设 (PC = x)，则截面圆半径 (r_c = \frac{x}{6} \times 2 = \frac{x}{3})。 小球半径为1，与侧面相切，则球心 (O_1) 到母线 (PB) 的距离为1，利用相似三角形或比例关系：球心 (O_1) 在 (PO) 上，设 (PO_1 = y)，则 (O_1) 到母线的距离 = (y \times \frac{2}{2\sqrt{10}} = \frac{y}{\sqrt{10}} = 1) （利用相似，(O_1) 到母线的距离与 (O) 到母线的距离之比等于 (PO_1 : PO)，而 (O) 到母线的距离为底面半径2？更准确的方法是：在轴截面中，小球圆与母线 (PB) 相切，设切点为 (D)，球心 (O_1) 在 (PO) 上，过 (O_1) 作 (O_1E \perp PB) 于 (E)，则 (O_1E=1)，易证 (\triangle PO_1E \sim \triangle POB)，(\frac{O_1E}{OB} = \frac{PO_1}{PB})，即 (\frac{1}{2} = \frac{y}{2\sqrt{10}})，解得 (y = \sqrt{10})。 所以小球所能达到的最高点到圆锥顶点的距离为 (\sqrt{10})。 （注：此距离为球心到顶点的距离，若问小球最高点（球上端）到顶点的距离，则为 (\sqrt{10} + 1)，但通常“小球达到的最高点”指球最上端，故答案应为 (\sqrt{10}+1)，但题目表述“小球所能达到的最高点到圆锥顶点的距离”可能指球心，需根据语境判断，常见模型答案为 (\sqrt{10}+1)。）最终答案（小球最高点）：(\sqrt{10} + 1)