（满分：120分 考试时间：100分钟）
选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
下列计算正确的是（ ） A. ( (-2)^3 = 6 )
B. ( \sqrt{9} = \pm3 )
C. ( 2a^2 \cdot 3a^3 = 6a^5 )
D. ( (x-2)^2 = x^2 - 4 )在平面直角坐标系中,点 ( P(m+1, 2m-4) ) 在x轴上，则m的值为（ ） A. 1
B. 2
C. -2
D. 4若关于x的一元二次方程 ( x^2 - 2x + k = 0 ) 有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1
B. -1
C. 2
D. -2如图,在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=3，则(\frac{DE}{BC})的值为（ ） A. (\frac{2}{3})
B. (\frac{2}{5})
C. (\frac{3}{5})
D. (\frac{5}{2})一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是（ ） （图略：主视图和左视图为矩形，俯视图为圆） A. 圆柱
B. 圆锥
C. 球
D. 长方体某校为了解学生每周课外阅读时间,随机调查了50名学生，结果如下表：
时间（小时） 0~2 2~4 4~6 6~8 人数 10 20 15 5 这50名学生每周课外阅读时间的中位数落在（ ） A. 0~2小时
B. 2~4小时
C. 4~6小时
D. 6~8小时下列函数中,当x>0时，y随x增大而减小的是（ ） A. ( y = 2x )
B. ( y = \frac{2}{x} )
C. ( y = x^2 )
D. ( y = -x + 1 )如图,在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 20
B. 24
C. 28
D. 32
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
分解因式：( 2x^2 - 8 = )__。
2025年春节假期,某市共接待游客约3560000人次，将数据3560000用科学记数法表示为__。
一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是__。
已知( x = 1 )是方程 ( 2x - a = 3 ) 的解，则a的值为__。
如图,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，OE=3，则⊙O的半径为__。
观察下列按规律排列的等式： ( 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2 ) ( 2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2 ) ( 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 ) ( 4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2 ) …… 请写出第n个等式（用含n的式子表示）：____。
解答题（本大题共10小题，共78分）
（5分）计算：( \sqrt{12} - | -3 | + (2025 - \pi)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} )。
（5分）解不等式组：( \begin{cases} 2x + 1 > 3 \ 5x - 2 \leq 3x + 4 \end{cases} )，并把解集在数轴上表示出来。
（6分）先化简，再求值：( \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \div (1 + \frac{2}{x - 1}) )，( x = \sqrt{2} + 1 )。
（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF。 求证：四边形AECF是平行四边形。
（8分）为促进“教”与“学”的融合，某中学开展“数学知识应用”项目式学习活动，学校计划为活动采购A、B两种奖品，已知购买1件A奖品和2件B奖品共需55元，购买2件A奖品和3件B奖品共需90元。 （1）求A、B两种奖品的单价； （2）学校计划用不超过850元购买A、B两种奖品共50件，且A奖品的数量不少于B奖品数量的(\frac{2}{3})，请问有哪几种购买方案？
（8分）为进一步提升“教”与“学”的效果，学校对九年级学生进行了一次数学素养测评，并随机抽取了部分学生的成绩（满分100分）进行统计，绘制了如下不完整的统计图表：
频数分布直方图（略）：分组为50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100，频数分别为2，8，10，a，4。扇形统计图（略）：表示成绩在80≤x<90的扇形圆心角为108°。
根据以上信息,解答下列问题： （1）本次共抽取了__名学生，a =__； （2）请补全频数分布直方图； （3）求所抽取学生成绩的平均数（每组数据取组中值代表）。
（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量校园内旗杆AB的高度，在观测点C处测得旗杆顶端A的仰角为45°，然后沿坡比( i = 1: \sqrt{3} )的斜坡CD前进10米到达点D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为60°（点B，C，E在同一水平线上）。 （1）求点D到水平线BE的垂直距离； （2）求旗杆AB的高度（结果保留根号）。
（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，BC=12，求线段DE的长。
（10分）在初中函数“教与学”中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，小明对函数( y = |x^2 - 2x| )的图象和性质进行了探究。 请补充以下探究过程： （1）列表：（完成下表）
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 0 | 0 |
（2）描点、连线：请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象。 （3）观察图象，写出该函数的一条性质：____。 （4）若直线( y = k )与该函数图象有且只有三个交点，则k的值为__。
（12分）【问题提出】 在“图形与几何”的教与学中，我们常通过构造基本图形来探究问题，如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF，探究线段BE与CF之间的数量关系。
【初步感知】 （1）小明同学通过测量发现BE=CF，请你帮助他证明这个结论。
【深入探究】 （2）如图2，若点E在边BC的延长线上运动，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
【拓展应用】 （3）如图3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边BC上一动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF，当△CEF为直角三角形时，求BE的长。
（试卷结束）
2025年初中数学教与学质量检测试卷参考答案
选择题
C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. B 7. D 8. A
填空题9. ( 2(x+2)(x-2) )
10. ( 3.56 \times 10^6 )
11. 8
12. -1
13. 5
14. ( n^2 + (n+1)^2 + [n(n+1)]^2 = [n(n+1)+1]^2 )
解答题15. 解：原式= ( 2\sqrt{3} - 3 + 1 + 2 = 2\sqrt{3} )。 16. 解：解不等式①得 ( x > 1 )，解不等式②得 ( x \leq 3 )。∴ 不等式组的解集为 ( 1 < x \leq 3 )，数轴表示略。 17. 解：原式= ( \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} \div \frac{x+1}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+1} = 1 )，当 ( x = \sqrt{2}+1 )时，原式=1。 18. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD=BC。∵ BE=DF，∴ AF=EC，又AF∥EC，∴ 四边形AECF是平行四边形。 19. 解：（1）设A单价x元，B单价y元，由题意得：( \begin{cases} x+2y=55 \ 2x+3y=90 \end{cases} )，解得 ( x=15, y=20 )。 （2）设购买A奖品m件，则购买B奖品(50-m)件，由题意得：( \begin{cases} 15m+20(50-m) \leq 850 \ m \geq \frac{2}{3}(50-m) \end{cases} )，解得 ( 20 \leq m \leq 30 )。∵ m为整数，∴ m=20,21,…,30，共有11种方案。 20. 解：（1）总人数= ( 10 \div \frac{90°}{360°} = 40 )（人），a = ( 40 - (2+8+10+4) = 16 )。 （2）略。 （3）平均数= ( \frac{552+658+7510+8516+95*4}{40} = 78.5 )（分）。 21. 解：（1）过D作DG⊥BE于G，在Rt△CDG中，CD=10，( i = 1:\sqrt{3} = DG:CG )，设DG=k，则CG=(\sqrt{3}k)，由勾股定理得 ( k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = 10^2 )，解得k=5。∴ DG=5米。 （2）设AB=x米，易得BG=DG=5米，在Rt△ABE中，∠AEB=45°，∴ BE=AB=x。∴ EG=BE-BG=x-5，在Rt△ADE中，∠ADE=60°，∴ DE=( \frac{AE}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}} )，又EG=DE+DG，∴ ( x-5 = \frac{x}{\sqrt{3}} + 5 )，解得 ( x = 10\sqrt{3} + 10 )，答：旗杆高为( (10\sqrt{3}+10) )米。 22. （1）证明：连接OD。∵ AB=AC，OB=OD，∴ ∠B=∠C，∠B=∠ODB。∴ ∠C=∠ODB。∴ OD∥AC。∵ DE⊥AC，∴ OD⊥DE。∴ DE是⊙O的切线。 （2）解：连接AD。∵ AB为直径，∴ AD⊥BC。∵ AB=AC，BC=12，∴ BD=DC=6，在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，∴ AD=8。∵ ( S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \times AC \times DE = \frac{1}{2} \times DC \times AD )，∴ ( \frac{1}{2} \times 10 \times DE = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 )，解得 DE=4.8。 23. 解：（1）当x=1时，y=1；当x=3时，y=3。 （2）图象略（由( y=x^2-2x )在x≤0或x≥2的部分，和( y=-x^2+2x )在0<x<2的部分组成）。 （3）性质：图象关于直线x=1对称（或函数在x<0和1<x<2时y随x增大而减小，在0≤x≤1和x>2时y随x增大而增大等）。 （4）k=1。 24. 解：（1）证明：在AB上截取BG=BE，连接EG，则AG=EC，∠BGE=45°，由旋转知AE=EF，∠AEF=90°。∴ ∠AEB+∠FEC=90°，又∠AEB+∠BAE=90°，∴ ∠BAE=∠FEC，又∠B=∠C=90°，∴ △ABE ≌ △ECF（ASA）。∴ BE=CF。 （2）成立，理由：在边AB的延长线上截取BG=BE，连接EG，证法类似（1），可证△ABE ≌ △ECF，从而BE=CF。 （3）分两种情况： ①当∠EFC=90°时，由（1）可证△ABE ∽ △ECF（两角相等），∴ ( \frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF} )，设BE=x，则EC=4-x，CF=x。∴ ( \frac{3}{4-x} = \frac{x}{x} )，解得x=1。 ②当∠FEC=90°时，则A，E，C共线，此时E与C重合，BE=4。 综上，BE的长为1或4。