（满分：100分 考试时间：90分钟）
选择题（每题3分，共24分）
下列式子中,是分式的是（ ） A. ( \frac{x}{2} ) \quad B. ( \frac{2}{x} ) \quad C. ( \frac{x}{\pi} ) \quad D. ( \sqrt{x} )
若分式 ( \frac{x^2 - 4}{x - 2} ) 的值为0，则 ( x ) 的值为（ ） A. 2 \quad B. -2 \quad C. ±2 \quad D. 0
下列分式中,是最简分式的是（ ） A. ( \frac{2x}{4x^2} ) \quad B. ( \frac{x-1}{x^2-1} ) \quad C. ( \frac{a+b}{a^2-b^2} ) \quad D. ( \frac{m^2-n^2}{m+n} )
计算 ( \frac{3a}{b} \cdot \frac{b^2}{6a^2} ) 的结果是（ ） A. ( \frac{b}{2a} ) \quad B. ( \frac{1}{2a} ) \quad C. ( \frac{b}{2} ) \quad D. ( \frac{1}{2} )
将分式 ( \frac{2x}{x+y} ) 中的 ( x, y ) 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 \quad B. 不变 \quad C. 缩小为原来的 ( \frac{1}{2} ) \quad D. 缩小为原来的 ( \frac{1}{4} )
计算 ( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} ) 的结果是（ ） A. ( \frac{2}{x^2-1} ) \quad B. ( \frac{-2}{x^2-1} ) \quad C. ( \frac{2}{1-x^2} ) \quad D. 0
若关于 ( x ) 的分式方程 ( \frac{2}{x-3} = 1 - \frac{m}{3-x} ) 有增根，则 ( m ) 的值为（ ） A. 2 \quad B. -2 \quad C. 3 \quad D. -3
某工厂计划生产300个零件,由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前2天完成任务，设原计划每天生产 ( x ) 个零件，可列方程为（ ） A. ( \frac{300}{x} - \frac{300}{1.5x} = 2 ) \quad B. ( \frac{300}{1.5x} - \frac{300}{x} = 2 ) C. ( \frac{300}{x} - \frac{300}{x+1.5} = 2 ) \quad D. ( \frac{300}{x+1.5} - \frac{300}{x} = 2 )
填空题（每题3分，共18分）
当 ( x )__时，分式 ( \frac{1}{x-5} ) 有意义。
分式 ( \frac{2}{3x^2y} ) 与 ( \frac{1}{6xy^3} ) 的最简公分母是__。
化简：( \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4} = )__。
计算：( \left( \frac{2a}{b} \right)^{-2} = )__。
已知 ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3 )，则 ( \frac{2a - 3ab + 2b}{a + ab + b} ) 的值为__。
若关于 ( x ) 的分式方程 ( \frac{x}{x-2} - 2 = \frac{m}{x-2} ) 的解为正数，则 ( m ) 的取值范围是__。
解答题（共58分）
计算与化简（每题4分，共16分）(1) ( \frac{3x}{x-2} - \frac{x}{x+2} ) (2) ( \left( \frac{x}{x+1} + 1 \right) \div \frac{x^2 - 1}{x+1} ) (3) ( \frac{a-1}{a} \div \left( a - \frac{1}{a} \right) ) (4) ( \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{x^2 + 2x + 1}{x} )
解分式方程（每题5分，共10分）(1) ( \frac{2}{x-1} = \frac{4}{x^2-1} ) (2) ( \frac{x}{x-2} - 1 = \frac{8}{x^2-4} )
（6分）先化简，再求值：( \left( \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x+1} \right) \div \frac{x}{x+1} )，( x = \sqrt{2} - 1 )。
（8分）已知关于 ( x ) 的分式方程 ( \frac{x}{x-3} - 2 = \frac{m}{x-3} )。 (1) 若方程的解为 ( x = 4 )，求 ( m ) 的值； (2) 若方程有增根，求 ( m ) 的值； (3) 若方程的解是正数，求 ( m ) 的取值范围。
（8分）某校为美化校园，计划对面积为 ( 1800 \text{m}^2 ) 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成面积的2倍，并且在独立完成面积为 ( 400 \text{m}^2 ) 区域的绿化时，甲队比乙队少用2天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
（10分）阅读下列材料，回答问题： 【材料】在分式运算中，有时需要将一个分式拆分成几个分式的和或差的形式， [ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ] (1) 根据上述规律，请直接写出：( \frac{1}{x(x+2)} = )__。 (2) 利用上述规律计算：( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \cdots + \frac{1}{99 \times 101} )。 (3) 请用类似的方法解方程：( \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x^2 + 3x} )
2025年初二数学下册第一单元测试卷（带答案）
选择题
B \quad 2. B \quad 3. D \quad 4. A \quad 5. B \quad 6. A \quad 7. B \quad 8. A
填空题9. ( \ne 5 ) \quad 10. ( 6x^2y^3 ) \quad 11. ( \frac{a-2}{a+2} ) \quad 12. ( \frac{b^2}{4a^2} ) \quad 13. ( \frac{3}{4} ) \quad 14. ( m < 4 ) 且 ( m \ne 0 )
解答题15. (1) ( \frac{2x(x+4)}{(x-2)(x+2)} ) 或 ( \frac{2x^2+8x}{x^2-4} ) (2) ( \frac{1}{x-1} ) (3) ( \frac{1}{a+1} ) (4) ( x+1 )
(1) 解：去分母得 ( 2(x+1) = 4 )，解得 ( x = 1 )，检验：( x=1 ) 时，分母 ( x^2-1=0 )，是增根。∴ 原方程无解。 (2) 解：去分母得 ( x(x+2) - (x^2-4) = 8 )，解得 ( x = 2 )，检验：( x=2 ) 时，分母 ( x^2-4=0 )，是增根。∴ 原方程无解。
解：原式 ( = \left( \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{x+1}{x} = \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{x+1}{x} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x} = 1 )。 当 ( x = \sqrt{2} - 1 ) 时，原式 ( = 1 )。
解：方程两边同乘 ( (x-3) )，得 ( x - 2(x-3) = m )，即 ( -x + 6 = m )，∴ ( x = 6 - m )。 (1) 当 ( x=4 ) 时，( 6-m=4 )，解得 ( m=2 )。 (2) ∵ 方程有增根，∴ ( x-3=0 )，即 ( x=3 )。∴ ( 6-m=3 )，解得 ( m=3 )。 (3) ∵ 方程的解为正数，∴ ( x = 6-m > 0 ) 且 ( x \ne 3 )。∴ ( m < 6 ) 且 ( m \ne 3 )。
解：设乙队每天能完成绿化面积 ( x \text{m}^2 )，则甲队每天能完成 ( 2x \text{m}^2 )。 根据题意得：( \frac{400}{x} - \frac{400}{2x} = 2 )。 解得：( x = 100 )。 经检验，( x=100 ) 是原方程的解。 ∴ ( 2x = 200 )。 答：甲队每天能完成 ( 200 \text{m}^2 )，乙队每天能完成 ( 100 \text{m}^2 )。
(1) ( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) ) (2) 原式 ( = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = \frac{50}{101} )。 (3) 方程左边 ( = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} = \frac{3}{x(x+3)} )。 ∴ 方程化为 ( \frac{3}{x(x+3)} = \frac{3}{x^2+3x} )，显然成立（分母相同）。 但需满足分母不为零：( x \ne 0, -1, -2, -3 )。 ∴ 方程的解为 ( x \ne 0, -1, -2, -3 ) 的所有实数。