（满分：120分 考试时间：100分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在实数 $\sqrt{4}$，$\frac{22}{7}$，$0.1010010001\ldots$，$\pi$，$-\sqrt[3]{27}$ 中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，下列说法错误的是（ ） A. $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是同旁内角 B. $\angle 3$ 与 $\angle 5$ 是同位角 C. $\angle 1$ 与 $\angle 4$ 是内错角 D. $\angle 5$ 与 $\angle 6$ 是邻补角 （图略：描述为两条直线被第三条直线所截的基本图形）
下列各式中，正确的是（ ） A. $\sqrt{(-4)^2} = -4$ B. $\pm\sqrt{16} = 4$ C. $\sqrt[3]{-64} = -4$ D. $(-\sqrt{2})^2 = -2$
点 $P(m+3, m-2)$ 在平面直角坐标系的 $x$ 轴上，则点 $P$ 的坐标为（ ） A. $(0, -5)$ B. $(5, 0)$ C. $(-5, 0)$ D. $(0, 5)$
如图，下列条件中，不能判定 $AB \parallel CD$ 的是（ ） A. $\angle 1 = \angle 2$ B. $\angle 3 = \angle 4$ C. $\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ$ D. $\angle ABC = \angle ADC$，且 $\angle 1 = \angle 2$ （图略：描述为四边形ABCD，AB与CD为可能平行的对边，有内错角、同旁内角等标记）
线段 $AB$ 两端点的坐标分别为 $A(2, 4)$，$B(5, 2)$，若将线段 $AB$ 平移，使得点 $B$ 的对应点为 $(1, -1)$，则点 $A$ 的对应点的坐标为（ ） A. $(-2, 1)$ B. $(-2, 4)$ C. $(4, 1)$ D. $(-2, -2)$
若 $\sqrt{a-5} + |b+2| + (c-3)^2 = 0$，则 $a-b+c$ 的平方根是（ ） A. $\pm 4$ B. $2$ C. $\pm 2$ D. $4$
一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间
在平面直角坐标系中，点 $A(-1, 0)$，点 $B(2, 3)$，点 $C$ 在 $x$ 轴上，且三角形 $ABC$ 的面积为6，则点 $C$ 的坐标是（ ） A. $(3, 0)$ B. $(-5, 0)$ 或 $(3, 0)$ C. $(5, 0)$ D. $(-5, 0)$ 或 $(5, 0)$
如图，$AB \parallel CD$，$EF \perp AB$ 于点 $E$，$EF$ 交 $CD$ 于点 $F$，已知 $\angle 1 = 25^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数是（ ） A. $55^\circ$ B. $65^\circ$ C. $115^\circ$ D. $125^\circ$ （图略：描述为AB//CD，一条斜线EF与AB垂直,与CD相交）
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
$\sqrt{16}$ 的算术平方根是__。
把命题“邻补角互补”改写成“……”的形式：_____。
已知点 $P(2a-1, a+3)$ 在第二象限，且到 $x$ 轴的距离是5，则 $a$ 的值是__。
如图，将一块含有 $30^\circ$ 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上。$\angle 2 = 45^\circ$，$\angle 1$ 的度数是__。 （图略：一个含30°、60°的三角板放在两条平行线间，$\angle 1$ 是三角板60°角与平行线形成的锐角，$\angle 2$ 是三角板30°角与平行线形成的锐角）
在平面直角坐标系中，已知点 $A(0, -3)$，点 $B(0, 4)$，点 $C$ 在 $x$ 轴上，如果三角形 $ABC$ 的面积为14，则点 $C$ 的坐标为__。
观察下列各式：$\sqrt{1+\frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，……，根据你发现的规律，第 $n$ 个等式是____（$n$ 为正整数）。
解答题（本大题共8小题，共72分）
（8分）计算： (1) $\sqrt{(-3)^2} + \sqrt[3]{-8} - |1-\sqrt{2}|$ (2) $2(\sqrt{3}-1) + |\sqrt{3}-2| - \sqrt[3]{27}$
（8分）求下列各式中 $x$ 的值： (1) $4x^2 - 25 = 0$ (2) $(x+1)^3 = -64$
（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形 $ABC$ 的顶点都在格点上。 (1) 请建立适当的平面直角坐标系，并写出点 $A$，$B$，$C$ 的坐标。 (2) 将三角形 $ABC$ 先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形 $A'B'C'$，请在图中画出三角形 $A'B'C'$。 (3) 求出三角形 $ABC$ 的面积。
（8分）完成下面的证明推理过程。 如图，已知 $\angle 1 = \angle 2$，$\angle C = \angle D$，求证：$\angle A = \angle F$。 证明：$\because \angle 1 = \angle 2$（已知）， 又 $\angle 1 = \angle 3$（____）， $\therefore \angle 2 = \angle 3$（等量代换）。 $\therefore$__$\parallel$__（同位角相等，两直线平行）。 $\therefore \angle C = \angle ABD$（____）。 $\because \angle C = \angle D$（已知）， $\therefore \angle ABD = \angle D$（等量代换）。 $\therefore$__$\parallel$__（内错角相等，两直线平行）。 $\therefore \angle A = \angle F$（____）。 （图略：描述为两条直线被第三条直线所截，形成多个交点，构成一个包含A、F的复杂图形，标有 $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle C, \angle D, \angle A, \angle F$）
（9分）已知 $3a+1$ 的平方根是 $\pm 4$，$b-1$ 的算术平方根是3。 (1) 求 $a$，$b$ 的值。 (2) 求 $a+2b$ 的立方根。
（9分）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A(-1, 4)$，$B(-4, 0)$，$C(-1, 0)$，将三角形 $ABC$ 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形 $A_1B_1C_1$。 (1) 直接写出点 $A_1$，$B_1$，$C_1$ 的坐标。 (2) 连接 $AA_1$，$CC_1$，求四边形 $ACC_1A_1$ 的面积。 (3) 若点 $P(m, n)$ 是三角形 $ABC$ 内部的一点，则平移后对应点 $P_1$ 的坐标为__。
（10分）【问题探究】如图1，$AB \parallel CD$，点 $E$ 在 $AB$，$CD$ 之间，探究 $\angle BED$，$\angle ABE$，$\angle CDE$ 之间的关系。 小明的思路是：过点 $E$ 作 $EF \parallel AB$。 $\because AB \parallel CD$， $\therefore EF \parallel CD$。 $\therefore \angle ABE = \angle 1$，$\angle CDE = \angle 2$。 $\therefore \angle BED = \angle 1 + \angle 2 = \angle ABE + \angle CDE$。 【结论应用】 (1) 如图2，$AB \parallel CD$，$\angle ABF = \frac{1}{3}\angle ABE$，$\angle CDF = \frac{1}{3}\angle CDE$，则 $\angle BFD$ 与 $\angle BED$ 的数量关系是____。 (2) 如图3，$AB \parallel CD$，点 $E$，$F$ 在直线 $AB$，$CD$ 之间，$BE$ 平分 $\angle ABG$，$DE$ 平分 $\angle CDG$，且 $\angle G = 90^\circ$，求 $\angle E$ 的度数。 （图1、2、3略，需根据描述绘制：图1为M型（猪蹄型）基本模型；图2为在M型基础上，在BE和DE上各取一点F；图3为在AB、CD之间有一个交点G，形成三角形BGD,E在角平分线交点处）
（12分）如图，在平面直角坐标系中，点 $A(a, 0)$，$B(b, 0)$，且 $a$，$b$ 满足 $\sqrt{a+2} + (b-4)^2 = 0$，点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$。 (1) 求 $a$，$b$ 的值及三角形 $ABC$ 的面积。 (2) 动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $x$ 轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时，三角形 $PAC$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$？求出此时点 $P$ 的坐标。 (3) 在（2）的条件下，点 $Q$ 是射线 $CB$ 上的动点，是否存在点 $Q$，使得三角形 $QCP$ 的面积等于三角形 $ABC$ 面积的一半？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在,请说明理由。
2025年七年级数学下册期中测试卷（带答案）
选择题
B 2. C 3. C 4. B 5. D 6. A 7. A 8. B 9. B 10. C
填空题11. 2 12. 如果两个角是邻补角，那么这两个角互补。 13. -2 14. 15° 15. $(4, 0)$ 或 $(-4, 0)$ 16. $\sqrt{n + \frac{1}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
解答题17. (1) 解：原式 $= 3 + (-2) - (\sqrt{2}-1) = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。 (2) 解：原式 $= 2\sqrt{3} - 2 + (2 - \sqrt{3}) - 3 = 2\sqrt{3} - 2 + 2 - \sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 3$。
(1) 解：$4x^2 = 25$，$x^2 = \frac{25}{4}$，$x = \pm \frac{5}{2}$。 (2) 解：$x+1 = \sqrt[3]{-64} = -4$，$x = -5$。
(1) （答案不唯一，以左下角为原点示例）建立如图坐标系，$A(0, 3)$，$B(3, 3)$，$C(1, 1)$。 (2) 图略，对应点 $A'(5, 1)$，$B'(8, 1)$，$C'(6, -1)$。 (3) $S_{\triangle ABC} = 3 \times 2 - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 - \frac{1}{2} \times 3 \times 2 - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 6 - 1 - 3 - 0.5 = 1.5$。
对顶角相等；$BD$；$CE$；两直线平行，同位角相等；$DF$；$AC$；两直线平行,内错角相等。
(1) 解：$\because 3a+1$ 的平方根是 $\pm 4$，$\therefore 3a+1=16$，$a=5$。 $\because b-1$ 的算术平方根是3，$\therefore b-1=9$，$b=10$。 (2) 解：$a+2b = 5 + 2 \times 10 = 25$。 $\therefore a+2b$ 的立方根是 $\sqrt[3]{25}$。
(1) $A_1(2, 5)$，$B_1(-1, 1)$，$C_1(2, 1)$。 (2) 四边形 $ACC_1A_1$ 是平行四边形，底 $AC=4$，高 $=3$，面积 $=4 \times 3 = 12$。 (3) $(m+3, n+1)$。
(1) $\angle BFD = \frac{1}{3} \angle BED$ (2) 解：由探究结论，$\angle E = \angle ABE + \angle CDE$。 $\because BE$ 平分 $\angle ABG$，$DE$ 平分 $\angle CDG$， $\therefore \angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABG$，$\angle CDE = \frac{1}{2}\angle CDG$。 $\therefore \angle E = \frac{1}{2}(\angle ABG + \angle CDG)$。 由 $AB \parallel CD$ 及三角形内角和，易得 $\angle ABG + \angle CDG = 180^\circ - \angle G = 90^\circ$。 $\therefore \angle E = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$。
(1) 解：$\because \sqrt{a+2} + (b-4)^2 = 0$，$\therefore a+2=0$，$b-4=0$。$\therefore a=-2$，$b=4$。 $\therefore A(-2,0)$，$B(4,0)$，$C(0,3)$。 $AB = 4 - (-2) = 6$，$OC = 3$。 $\therefore S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$。 (2) 解：由题意，$AP = t$，$P(-2-t, 0)$。 $S{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \times AP \times OC = \frac{1}{2} \times t \times 3 = \frac{3}{2}t$。 依题意，$\frac{3}{2}t = \frac{1}{3} \times 9 = 3$，解得 $t = 2$。 $\therefore P(-4, 0)$。 (3) 解：存在，设 $Q(x, y)$，点 $Q$ 在直线 $CB$ 上。 直线 $BC$ 解析式：过 $B(4,0)$，$C(0,3)$，易得 $y = -\frac{3}{4}x + 3$。 $\therefore Q(x, -\frac{3}{4}x + 3)$。 $S{\triangle QCP} = S{\triangle QCB} - S_{\triangle PCB}$（或直接以CP为底，计算Q到CP的距离，但较繁）。 更简单方法：$\triangle QCP$ 与 $\triangle PCB$ 有公共边 $CP$