（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 } )，( B = { x \mid \ln x < 1 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( (0, 2] )
B. ( (0, e) )
C. ( [1, 2] )
D. ( [1, e) )若复数 ( z ) 满足 ( z(1 + i) = 2 - i )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的共轭复数 ( \overline{z} ) 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( (\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{a} )，则实数 ( m = )（ ） A. 3
B. -3
C. 5
D. -5函数 ( f(x) = \frac{\ln|x|}{x^2} ) 的大致图象是（ ） A. （图象略，描述：关于y轴对称，在 ( (0, +\infty) ) 内先增后减，趋于0）
B. （图象略，描述：关于原点对称，在 ( (0, +\infty) ) 内单调递减）
C. （图象略，描述：关于y轴对称，在 ( (0, +\infty) ) 内单调递增）
D. （图象略，描述：关于原点对称，在 ( (0, +\infty) ) 内先减后增）已知等差数列 ( { a_n } ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( S_9 = )（ ） A. 45
B. 50
C. 55
D. 60已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( 3\cos 2\alpha - 4\sin\alpha = 1 )，则 ( \tan\alpha = )（ ） A. ( -\sqrt{3} )
B. ( -\frac{\sqrt{3}}{3} )
C. ( \frac{\sqrt{3}}{3} )
D. ( \sqrt{3} )已知直线 ( l: x - y + 2 = 0 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 )，则圆 ( C ) 上的点到直线 ( l ) 距离的最大值为（ ） A. ( \sqrt{2} + 2 )
B. ( \sqrt{2} + 3 )
C. ( 2\sqrt{2} + 1 )
D. ( 2\sqrt{2} + 2 )已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x - 1, & x \leq 0 \ -x^2 + ax, & x > 0 \end{cases} ) 在 ( \mathbb{R} ) 上存在单调递增区间，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (0, +\infty) )
B. ( [0, +\infty) )
C. ( (1, +\infty) )
D. ( [1, +\infty) )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列说法中,正确的是（ ） A. 命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是“ ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) ”
B. “ ( a > 1 ) ”是“ ( \frac{1}{a} < 1 ) ”的充分不必要条件
C. 若 ( a > b > 0 )，则 ( \frac{a+b}{2} > \sqrt{ab} > \frac{2ab}{a+b} )
D. 若随机变量 ( X \sim B(10, 0.8) )，则 ( D(X) = 1.6 )已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, \, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则（ ） （图象略，描述：给出一个正弦型函数图象，标出关键点坐标如 ( (\frac{\pi}{6}, 1) )、( (\frac{5\pi}{12}, 0) ) 等） A. ( \omega = 2 )
B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} )
C. 函数 ( f(x) ) 的图象关于点 ( (-\frac{\pi}{12}, 0) ) 对称
D. 函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-\frac{\pi}{3}, 0] ) 上单调递增如图,在棱长为2的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，点 ( P ) 在线段 ( B_1C ) 上运动，则（ ） A. 异面直线 ( AP ) 与 ( DD_1 ) 所成角的范围是 ( [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] )
B. 点 ( A_1 ) 到平面 ( AB_1P ) 的距离为定值
C. 直线 ( A_1P ) 与平面 ( ACD_1 ) 可能平行
D. 三棱锥 ( P-ACD_1 ) 的体积为定值
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 (a > 0) ) 的一条渐近线方程为 ( y = \frac{3}{4}x )，则该双曲线的离心率为__。
已知 ( (x + \frac{1}{x^2})^n ) 的展开式中各项系数之和为64，则展开式中常数项为__。（用数字作答）
已知 ( \triangle ABC ) 的内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( a \cos C + \sqrt{3} a \sin C = b + c )，则角 ( A = )__；若 ( a = 2 )，则 ( \triangle ABC ) 面积的最大值为__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（13分） 已知数列 ( { a_n } ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 1 ). （1）求数列 ( { a_n } ) 的通项公式； （2）设 ( b_n = \frac{a_n}{(an + 1)(a{n+1} + 1)} )，求数列 ( { b_n } ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n ).
（15分） 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，且 ( PA = AB = 2 )，点 ( E ) 为线段 ( PD ) 的中点. （1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( ACE )； （2）求二面角 ( E-AC-D ) 的正弦值； （3）求点 ( B ) 到平面 ( ACE ) 的距离.
（15分） 已知函数 ( f(x) = x^3 - 3ax + 1 ). （1）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （2）若函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 2] ) 上的最小值为 ( -3 )，求实数 ( a ) 的值.
（17分） 已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( P(2, 0) ). （1）求椭圆 ( C ) 的标准方程； （2）设过点 ( Q(1, 0) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，是否存在定点 ( M )，使得直线 ( MA ) 与 ( MB ) 的斜率之和为定值？若存在，求出定点 ( M ) 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.
（17分） 已知函数 ( f(x) = e^x - ax^2 )（( e ) 为自然对数的底数）. （1）当 ( a = 1 ) 时，求曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程； （2）若 ( f(x) ) 有两个极值点 ( x_1, x_2 )（( x_1 < x_2 )），且 ( x_2 - x_1 \leq \ln 4 )，求实数 ( a ) 的取值范围.
2025年高二年级第一学期期中数学考试试卷（参考答案）
选择题
- D
- D
- B
- A
- A
- C
- A
- C
多选题9. AC
10. ABD
11. BCD
填空题12. ( \frac{5}{4} )
13. 15
14. ( \frac{\pi}{3} )；( \sqrt{3} )
解答题15. （1）( a_n = 2^{n-1} )；（2）( Tn = \frac{2^n - 1}{2^{n+1} + 1} ) 16. （1）略；（2）( \frac{\sqrt{6}}{3} )；（3）( \frac{2\sqrt{3}}{3} ) 17. （1）当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增；当 ( a > 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( (-\infty, -\sqrt{a}) ) 和 ( (\sqrt{a}, +\infty) ) 上单调递增，在 ( (-\sqrt{a}, \sqrt{a}) ) 上单调递减；（2）( a = 2 ) 18. （1）( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )；（2）存在定点 ( M(4, 0) )，使得 ( k{MA} + k_{MB} = 0 )（定值） 19. （1）( y = (e - 2)x + 1 )；（2）( a \in (0, \frac{e^2}{4}] )