（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
在等差数列 ({a_n}) 中，已知 (a_3 = 5)，(a_7 = 13)，则其公差 (d) 等于（ ） A. 1 \quad B. 2 \quad C. 3 \quad D. 4
不等式 (x^2 - 4x + 3 < 0) 的解集是（ ） A. ( (1, 3) ) \quad B. ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) ) \quad C. ( [1, 3] ) \quad D. ( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) )
在 (\triangle ABC) 中，角 (A, B, C) 所对的边分别为 (a, b, c)，若 (a = 2, b = \sqrt{3}, A = 60^\circ)，则 (B) 等于（ ） A. (30^\circ) \quad B. (60^\circ) \quad C. (30^\circ) 或 (150^\circ) \quad D. (60^\circ) 或 (120^\circ)
已知等比数列 ({a_n}) 的公比 (q = 2)，前 (n) 项和为 (S_n)，若 (a_2 = 4)，则 (S_5) 等于（ ） A. 31 \quad B. 62 \quad C. 124 \quad D. 248
若 (x > 0, y > 0)，且 (x + y = 4)，则 (xy) 的最大值是（ ） A. 2 \quad B. 4 \quad C. 6 \quad D. 8
在 (\triangle ABC) 中，若 (a^2 = b^2 + bc + c^2)，则角 (A) 等于（ ） A. (30^\circ) \quad B. (60^\circ) \quad C. (120^\circ) \quad D. (150^\circ)
若关于 (x) 的不等式 (ax^2 + bx + 2 > 0) 的解集为 ((-2, 1))，则 (a + b) 等于（ ） A. -2 \quad B. -1 \quad C. 1 \quad D. 2
已知数列 ({a_n}) 满足 (a1 = 1)，(a{n+1} = a_n + 2n + 1)，则 (a_5) 等于（ ） A. 16 \quad B. 25 \quad C. 36 \quad D. 49
设 (x, y) 满足约束条件 (\begin{cases} x + y \le 4 \ x - y \ge -2 \ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases})，则目标函数 (z = 2x + y) 的最大值为（ ） A. 4 \quad B. 6 \quad C. 8 \quad D. 10
在 (\triangle ABC) 中，若 (\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7)，则此三角形的最大内角为（ ） A. (60^\circ) \quad B. (90^\circ) \quad C. (120^\circ) \quad D. (150^\circ)
已知正数 (a, b) 满足 (a + b = 1)，则 (\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) 的最小值为（ ） A. 6 \quad B. 8 \quad C. 9 \quad D. 12
数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和 (S_n = 2n^2 - 3n)，则数列 ({a_n}) 的通项公式为（ ） A. (a_n = 4n - 5) \quad B. (a_n = 4n - 3) \quad C. (a_n = 2n - 3) \quad D. (a_n = 2n - 1)
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
不等式 (\frac{x-1}{x+2} \le 0) 的解集为__。
在 (\triangle ABC) 中，(a = 3, b = 2\sqrt{2}, \cos C = \frac{1}{3})，则 (c =)__。
设 (S_n) 为等差数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和，若 (S_5 = 25)，(a_5 = 9)，则 (a_1 =)__。
若关于 (x) 的不等式 (x^2 - ax - b < 0) 的解集为 ((2, 3))，则 (a + b =)__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）在 (\triangle ABC) 中，角 (A, B, C) 所对的边分别为 (a, b, c)，且满足 (b \cos C + c \cos B = 2a \cos A)。 （1）求角 (A) 的大小； （2）若 (a = \sqrt{3})，(b = 1)，求 (c) 的值。
（12分）已知数列 ({a_n}) 是首项为 (1)，公比为 (2) 的等比数列。 （1）求数列 ({a_n}) 的通项公式； （2）设 (b_n = \log_2 a_n)，求数列 ({b_n}) 的前 (n) 项和 (T_n)。
（12分）解关于 (x) 的不等式：(ax^2 - (a+1)x + 1 < 0)（(a) 为常数，且 (a \neq 0)）。
（12分）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为 (4800 \, \text{m}^3)，深为 (3 \, \text{m})，如果池底每平方米的造价为 (150) 元，池壁每平方米的造价为 (120) 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
（12分）在 (\triangle ABC) 中，角 (A, B, C) 所对的边分别为 (a, b, c)，已知 (2a \sin B = \sqrt{3}b)。 （1）求角 (A)； （2）若 (a = 2)，且 (\triangle ABC) 的面积为 (\sqrt{3})，求 (b, c) 的值。
（12分）已知数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n)，且满足 (S_n = 2a_n - 1)。 （1）求数列 ({a_n}) 的通项公式； （2）设 (c_n = \frac{1}{an \cdot a{n+1}})，求数列 ({c_n}) 的前 (n) 项和 (R_n)。
2025年高中数学必修五综合测试卷（参考答案）
选择题
B \quad 2. A \quad 3. A \quad 4. B \quad 5. B \quad 6. C \quad 7. A \quad 8. B \quad 9. C \quad 10. C \quad 11. C \quad 12. A
填空题13. ((-2, 1]) \quad 14. (3) \quad 15. (1) \quad 16. (1)
解答题17. （1）由正弦定理及已知得 (\sin B \cos C + \sin C \cos B = 2 \sin A \cos A)，即 (\sin(B+C) = \sin A = 2 \sin A \cos A)。 因为 (\sin A \neq 0)，(\cos A = \frac{1}{2})，又 (A \in (0, \pi))，故 (A = \frac{\pi}{3})。 （2）由余弦定理 (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A)，得 (3 = 1 + c^2 - c)，解得 (c = 2)（负值舍去）。
（1）(a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1})。 （2）(b_n = \log_2 2^{n-1} = n-1)，({b_n}) 是首项为 (0)，公差为 (1) 的等差数列。 (T_n = \frac{n[0 + (n-1)]}{2} = \frac{n(n-1)}{2})。
原不等式可化为 ((ax - 1)(x - 1) < 0)。 ①当 (a > 0) 时，方程两根为 (x_1 = \frac{1}{a})，(x_2 = 1)。 若 (a > 1)，则 (\frac{1}{a} < 1)，解集为 ((\frac{1}{a}, 1))； 若 (a = 1)，不等式为 ((x-1)^2 < 0)，解集为 (\varnothing)； 若 (0 < a < 1)，则 (\frac{1}{a} > 1)，解集为 ((1, \frac{1}{a}))。 ②当 (a < 0) 时，方程两根为 (x_1 = \frac{1}{a} < 0)，(x_2 = 1)，抛物线开口向下，解集为 ((-\infty, \frac{1}{a}) \cup (1, +\infty))。
设池底的长为 (x \, \text{m})，宽为 (y \, \text{m})，则 (3xy = 4800)，即 (xy = 1600)。 池壁面积 (S{\text{壁}} = 2(3x + 3y) = 6(x+y))。 总造价 (W = 150xy + 120 \times 6(x+y) = 150 \times 1600 + 720(x+y) = 240000 + 720(x+y))。 由基本不等式 (x + y \ge 2\sqrt{xy} = 80)，当且仅当 (x = y = 40) 时取等。 (W{\min} = 240000 + 720 \times 80 = 297600) 元。 答：当池底为边长 (40 \, \text{m}) 的正方形时，总造价最低，为 (297600) 元。
（1）由正弦定理及已知得 (2 \sin A \sin B = \sqrt{3} \sin B)，因为 (\sin B \neq 0)，(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2})。 又 (A \in (0, \pi))，(A = \frac{\pi}{3}) 或 (A = \frac{2\pi}{3})。 （2）因为 (S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A = \sqrt{3})，(bc = 4)。 若 (A = \frac{\pi}{3})，由余弦定理 (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A)，得 (4 = b^2 + c^2 - 4)，即 (b^2 + c^2 = 8)。 联立 (bc=4)，解得 (b = c = 2)。 若 (A = \frac{2\pi}{3})，由余弦定理得 (4 = b^2 + c^2 + 4)，即 (b^2 + c^2 = 0)，无解。 综上，(b = c = 2)。
（1）当 (n=1) 时，(a_1 = S_1 = 2a_1 - 1)，解得 (a_1 = 1)。 当 (n \ge 2) 时，(a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 1) - (2a{n-1} - 1) = 2an - 2a{n-1})，(an = 2a{n-1})。 ({a_n}) 是首项为 (1)，公比为 (2) 的等比数列，故 (a_n = 2^{n-1})。 （2）(c_n = \frac{1}{2^{n-1} \cdot 2^n} = \frac{1}{2^{2n-1}} = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n)。 ({c_n}) 是首项为 (\frac{1}{2})，公比为 (\frac{1}{4}) 的等比数列。 (R_n = \frac{\frac{1}{2} \left[1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \left[1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right])。