选择题（每题5分，共40分）
已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { 1, 2, 3 } )，则 ( A \cap B = )
A. ( {1} )
B. ( {2} )
C. ( {1, 2} )
D. ( {1, 2, 3} )复数 ( z = \frac{1+i}{1-i} ) 的虚部为
A. 0
B. 1
C. -1
D. ( i )函数 ( f(x) = \ln(x-1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为
A. ( (1, 4] )
B. ( [1, 4] )
C. ( (1, 4) )
D. ( [1, 4) )已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( m = )
A. 2
B. -2
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{1}{2} )在等差数列 ({ a_n }) 中，( a_3 = 5 )，( a7 = 13 )，则 ( a{10} = )
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21已知角 ( \theta ) 终边过点 ( P(-3, 4) )，则 ( \sin \theta + \cos \theta = )
A. ( \frac{1}{5} )
B. ( -\frac{1}{5} )
C. ( \frac{7}{5} )
D. ( -\frac{7}{5} )直线 ( y = 2x + 1 ) 被圆 ( x^2 + y^2 = 4 ) 截得的弦长为
A. ( \sqrt{5} )
B. ( 2\sqrt{5} )
C. ( \frac{2\sqrt{5}}{5} )
D. ( \frac{4\sqrt{5}}{5} )已知函数 ( f(x) = e^x - x - 1 )，则 ( f(x) ) 的单调递增区间为
A. ( (0, +\infty) )
B. ( (-\infty, 0) )
C. ( (-\infty, +\infty) )
D. ( (-\infty, 1) )
填空题（每题5分，共20分）
命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是____。
若 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，且 ( \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) )，则 ( \cos \alpha = )__。
已知 ( \log_2 3 = a )，则 ( \log_3 8 = )__（用 ( a ) 表示）。
二项式 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中常数项为__。
解答题（共40分）
（10分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )。
（1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
（2）求 ( f(x) ) 在区间 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上的最大值和最小值。（10分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )。
（1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
（2）求二面角 ( B-PC-D ) 的余弦值。（10分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。
（1）求椭圆 ( C ) 的标准方程；
（2）设直线 ( l: y = kx + m ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，若以 ( AB ) 为直径的圆过原点 ( O )，求证：直线 ( l ) 恒过定点。（10分）已知函数 ( f(x) = x \ln x - ax^2 + (2a-1)x ) （( a \in \mathbb{R} )）。
（1）若 ( a = 1 )，求曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程；
（2）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性。
2025年高中数学教材综合测试卷参考答案（电子版）
选择题
- C
- B
- A
- A
- B
- A
- D
- A
填空题9. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
10. ( -\frac{4}{5} )
11. ( \frac{3}{a} )
12. 160
解答题13.
（1）( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )，最小正周期 ( T = \pi )。
（2）当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}] )，
最大值为 ( 2 )（当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} ) 时），
最小值为 ( -\sqrt{3} )（当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} ) 时）。
（1）略（证明 ( BD \perp AC )，( BD \perp PA ) 即可）。
（2）以 ( A ) 为原点建立空间直角坐标系，求得平面 ( PBC ) 与平面 ( PCD ) 的法向量，
二面角 ( B-PC-D ) 的余弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{3} )。（1）由离心率及过点条件解得 ( a^2 = 4, b^2 = 3 )，椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。
（2）联立直线与椭圆，利用韦达定理及 ( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 ) 得 ( 7m^2 = 12(k^2+1) )，
代入直线方程得定点为 ( (0, -\frac{2\sqrt{21}}{7}) ) 或 ( (0, \frac{2\sqrt{21}}{7}) )。（1）当 ( a = 1 ) 时，( f(x) = x \ln x - x^2 + x )，( f'(x) = \ln x - 2x + 2 )，
( f'(1) = 0 )，( f(1) = 0 )，切线方程为 ( y = 0 )。
（2）( f'(x) = \ln x - 2ax + 2a )，
当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 单调递增；
当 ( a > 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( (0, \frac{1}{a}) ) 单调递增，在 ( (\frac{1}{a}, +\infty) ) 单调递减。
说明：本试卷及答案电子版仅供学习参考，请勿用于商业用途，建议结合教材系统练习,理解解题思路。