选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | x \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | 0 \leq x \leq 3 } ) B. ( { x | x > -2 } ) C. ( { x | x \leq 3 } ) D. ( { x | -2 < x < 0 } )
命题“( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
下列函数中,既是奇函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 ) B. ( y = \sqrt{x} ) C. ( y = x^3 ) D. ( y = \frac{1}{x} )
已知 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^{0.2} )，( c = \log_{0.2} 0.3 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( c < b < a ) B. ( b < a < c ) C. ( a < b < c ) D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln x + 2x - 6 ) 的零点所在区间是（ ） A. ( (1, 2) ) B. ( (2, 3) ) C. ( (3, 4) ) D. ( (4, 5) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设 ( a > 0 )，且 ( a \neq 1 )，则“函数 ( f(x) = a^x ) 在 ( R ) 上单调递减”是“函数 ( g(x) = (a-2)x^3 ) 在 ( R ) 上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
某食品的保鲜时间 ( y )（单位：小时）与储藏温度 ( x )（单位：℃）满足函数关系 ( y = e^{kx+b} )（( e ) 为自然对数的底数，( k, b ) 为常数），若该食品在 0℃ 时的保鲜时间是 192 小时，在 22℃ 时的保鲜时间是 24 小时，则该食品在 33℃ 时的保鲜时间大约是（ ） A. 6小时 B. 8小时 C. 10小时 D. 12小时
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列各组函数中,表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = |x| )，( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )，( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )，( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) D. ( f(x) = x^0 )，( g(x) = 1 )
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的解集为 ( { x | -2 < x < 3 } )，则（ ） A. ( a < 0 ) B. ( a - b + c > 0 ) C. ( x ) 的不等式 ( cx^2 - bx + a > 0 ) 的解集为 ( { x | -\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2} } ) D. ( c > 0 )
已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( R )，且 ( f(x+y) = f(x) + f(y) - 1 ) 对任意实数 ( x, y ) 都成立，若 ( f(1) = 2 )，则（ ） A. ( f(0) = 1 ) B. ( f(x) ) 是奇函数 C. ( f(2) = 3 ) D. 若 ( f(a^2 + a - 5) < 2 )，则 ( a \in (-3, 2) )
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
计算：( (\frac{1}{2})^{-2} + 8^{\frac{2}{3}} - \log_3 9 = )__。
已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) (( a > 1 )) 在区间 ( [1, 3] ) 上有最小值 4，则实数 ( a ) 的值为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leq 2 \ \log_2 (x - 1), & x > 2 \end{cases} )，若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) = m ) 有三个不相等的实数根，则实数 ( m ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分） 已知全集 ( U = R )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )，( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )，( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分） 已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）解关于 ( x ) 的不等式 ( f(2x) \geq 1 )。
（15分） 已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 5m + 7) x^{m-1} ) 为偶函数。 （1）求函数 ( f(x) ) 的解析式； （2）若函数 ( g(x) = f(x) - 2(a - 1)x + 1 ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的最大值为 2，求实数 ( a ) 的值。
（17分） 某工厂生产某种产品的年固定成本为 200 万元，每生产 ( x ) 千件，需另投入成本 ( C(x) )（万元），当年产量不足 80 千件时，( C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 10x )；当年产量不小于 80 千件时，( C(x) = 51x + \frac{10000}{x} - 1450 )，每件商品售价为 0.5 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。 （1）写出年利润 ( L(x) )（万元）关于年产量 ( x )（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
（17分） 已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) ) (( 0 < a < 1 ))。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域，并判断其奇偶性； （2）求函数 ( f(x) ) 的单调区间； （3）若方程 ( f(x) = m ) 有解，求实数 ( m ) 的取值范围。
2025年高中数学必修一综合测试卷（带答案）
选择题
A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. B 8. A
多选题9. AD 10. ABD 11. ACD
填空题12. 7 13. 2 14. (0, 1)
解答题15. (1) ( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )；( (C_U A) \cap B = { x | 7 \leq x \leq 10 } )。 (2) ( a \geq 10 )。
(1) 单调递增，证明：任取 ( x_1, x_2 \in [0, +\infty) ) 且 ( x_1 < x_2 )，计算 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{3(x_2 - x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)} < 0 )，得证。 (2) 解不等式得 ( x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty) )。（注意定义域 ( x \neq -1 )）
(1) 由幂函数定义得 ( m^2 - 5m + 7 = 1 )，解得 ( m = 2 ) 或 ( m = 3 )。 当 ( m = 2 ) 时，( f(x) = x )，为奇函数，舍去； 当 ( m = 3 ) 时，( f(x) = x^2 )，为偶函数，符合。 故 ( f(x) = x^2 )。 (2) ( g(x) = x^2 - 2(a-1)x + 1 )，对称轴为 ( x = a-1 )。 讨论对称轴与区间 ( [1, 3] ) 的位置关系： ① 当 ( a-1 \leq 1 ) 即 ( a \leq 2 ) 时，最大值为 ( g(3) = 10 - 6a = 2 )，解得 ( a = \frac{4}{3} )（符合）。 ② 当 ( a-1 \geq 3 ) 即 ( a \geq 4 ) 时，最大值为 ( g(1) = 4 - 2a = 2 )，解得 ( a = 1 )（不符合，舍去）。 ③ 当 ( 1 < a-1 < 3 ) 即 ( 2 < a < 4 ) 时，最大值在端点取得，比较 ( g(1) ) 与 ( g(3) )。 令 ( g(1) = 4 - 2a = 2 )，得 ( a = 1 )（不在区间内，舍去）。 令 ( g(3) = 10 - 6a = 2 )，得 ( a = \frac{4}{3} )（不在区间内，舍去）。 综上，( a = \frac{4}{3} )。
(1) ( L(x) = \begin{cases}
\frac{1}{3}x^2 + 40x - 200, & 0 < x < 80 \ 1200 - (x + \frac{10000}{x}), & x \geq 80 \end{cases} ) (2) 当 ( 0 < x < 80 ) 时，( L(x) = -\frac{1}{3}(x - 60)^2 + 1000 )，当 ( x = 60 ) 时，( L(x)_{max} = 1000 )（万元）。 当 ( x \geq 80 ) 时，( L(x) = 1200 - (x + \frac{10000}{x}) \leq 1200 - 2\sqrt{10000} = 1000 )，当且仅当 ( x = 100 ) 时取等号。 综上，当年产量为 100 千件时，利润最大，为 1000 万元。
(1) 由 ( \begin{cases} 1 - x > 0 \ x + 3 > 0 \end{cases} ) 得定义域为 ( (-3, 1) )，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数。 (2) ( f(x) = \log_a [(1-x)(x+3)] = \log_a (-x^2 - 2x + 3) )，( 0 < a < 1 )。 令 ( t = -x^2 - 2x + 3 )，在 ( (-3, -1] ) 上单调递增，在 ( [-1, 1) ) 上单调递减。 由于 ( y = \loga t ) (( 0 < a < 1 )) 单调递减，根据复合函数单调性，( f(x) ) 在 ( (-3, -1] ) 上单调递减，在 ( [-1, 1) ) 上单调递增。 (3) 方程有解即求 ( f(x) ) 的值域，由(2)知，当 ( x = -1 ) 时，( t{max} = 4 )，( f(x)_{min} = \log_a 4 )。 当 ( x \to -3^+ ) 或 ( x \to 1^- ) 时，( t \to 0^+ )，( f(x) \to +\infty )。 故 ( f(x) ) 的值域为 ( [\log_a 4, +\infty) )。 所以实数 ( m ) 的取值范围是 ( [\log_a 4, +\infty) )。