（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
- 本试卷参考人教版《普通高中教科书·数学·必修第一册》内容命题。
- 答题前，请务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，答案需写在答题卡上,写在试卷上无效。
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4, 5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = )（ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {1, 3} ) \quad C. ( {1, 2} ) \quad D. ( {1, 2, 3} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \geq 2x ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad B. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 < 2x ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad D. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 2x )
函数 ( f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{1}{x-1} ) 的定义域是（ ） A. ( [-2, 1) \cup (1, +\infty) ) \quad B. ( (-2, 1) \cup (1, +\infty) ) C. ( [-2, +\infty) ) \quad D. ( (-2, +\infty) )
已知 ( a， b \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad B. ( a^2 > b^2 ) \quad C. ( a^3 > b^3 ) \quad D. ( |a| > |b| )
设 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{2} )， ( c = \log_{0.3} 2 )，则 ( a， b， c ) 的大小关系为（ ） A. ( a > b > c ) \quad B. ( b > a > c ) \quad C. ( c > a > b ) \quad D. ( a > c > b )
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x \geq 0 ) 时， ( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时， ( f(x) = )（ ） A. ( -x^2 - 2x ) \quad B. ( -x^2 + 2x ) \quad C. ( x^2 + 2x ) \quad D. ( x^2 - 2x )
函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 3) ) 的单调递增区间是（ ） A. ( (-\infty, -1) ) \quad B. ( (-\infty, 1) ) \quad C. ( (1, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 ( y )（单位：万元）与机器运转时间 ( x )（单位：年）的关系为 ( y = -x^2 + 18x - 25 \, (x > 0) )，则当每台机器运转（ ）年时，年平均利润最大。 A. 3 \quad B. 4 \quad C. 5 \quad D. 6
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(x) = \sqrt{x^2} ) B. ( f(x) = x )， ( g(x) = \frac{x^2}{x} ) C. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 ) D. ( f(x) = \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} )， ( g(x) = \sqrt{x^2-1} )
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c \geq 0 ) 的解集为 ( {x \,|\, -2 \leq x \leq 3} )，则（ ） A. ( a < 0 ) B. ( a - b + c > 0 ) C. ( x ) 的不等式 ( cx^2 + bx + a < 0 ) 的解集为 ( {x \,|\, x < -\frac{1}{3} \, \text{或} \, x > \frac{1}{2} } ) D. ( b + c = -a )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 1, & x \leq 1 \ a^x, & x > 1 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的减函数，则实数 ( a ) 的可能取值为（ ） A. ( \frac{1}{2} ) \quad B. ( \frac{2}{3} ) \quad C. ( 1 ) \quad D. ( \frac{3}{2} )
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 2m - 2) x^{m-1} ) 的图象关于原点对称，则 ( m = )__。
已知 ( f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x} )，则函数 ( f(x) ) 的解析式为__。
已知正实数 ( x， y ) 满足 ( xy + 2x + y = 6 )，则 ( x + y ) 的最小值为__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知集合 ( A = {x \,|\, -3 \leq x \leq 4} )， ( B = {x \,|\, 2m - 1 \leq x \leq m + 1} )。 （1）若 ( m = 1 )，求 ( A \cup B )， ( ( \complement_{\mathbb{R}} A ) \cap B )； （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（15分）计算下列各式的值： （1）( (2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - (-9.6)^0 - (\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} + 0.1^{-2} )； （2）( \log_3 \sqrt{27} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_7 2} + (-0.98)^0 )。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（17分）已知函数 ( f(x) = \log_a (3 - ax) \, (a > 0, \, a \neq 1) )。 （1）当 ( a = 2 ) 时，求函数 ( f(x) ) 的定义域； （2）是否存在实数 ( a )，使得函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 2] ) 上单调递减，且最大值为 1？若存在，求出 ( a ) 的值；若不存在,请说明理由。
（17分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意 ( x， y \in \mathbb{R} )，都有 ( f(x+y) = f(x) + f(y) )，且当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) < 0 )，又 ( f(1) = -2 )。 （1）判断 ( f(x) ) 的奇偶性，并证明； （2）判断 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性，并证明； （3）若 ( f(ax^2) + f(2x) < f(-2) + f(a) ) 对任意 ( x \in [1, 3] ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高一上学期数学必修一（人教版）综合测试卷·参考答案
单项选择题
A \quad 2. C \quad 3. A \quad 4. C \quad 5. A \quad 6. A \quad 7. D \quad 8. C
多项选择题9. AD \quad 10. BCD \quad 11. AB
填空题12. ( -1 ) \quad 13. ( f(x) = x^2 - 1 \, (x \geq 1) ) \quad 14. ( 2\sqrt{3} - 2 )
解答题15.解：（1）当 ( m = 1 ) 时， ( B = {x \,|\, 1 \leq x \leq 2} )。 ( A \cup B = {x \,|\, -3 \leq x \leq 4} )。 ( \complement{\mathbb{R}} A = {x \,|\, x < -3 \, \text{或} \, x > 4} )， ( ( \complement{\mathbb{R}} A ) \cap B = \varnothing )。
（2）当 ( B = \varnothing ) 时， ( 2m - 1 > m + 1 )，解得 ( m > 2 )，符合 ( B \subseteq A )。 当 ( B \neq \varnothing ) 时，有 ( \begin{cases} 2m - 1 \leq m + 1 \ 2m - 1 \geq -3 \ m + 1 \leq 4 \end{cases} )，解得 ( -1 \leq m \leq 2 )。 综上，实数 ( m ) 的取值范围是 ( {m \,|\, m \geq -1} )。
解：（1）原式 ( = (\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} - 1 - (\frac{3}{2})^{-2} + 100 = \frac{3}{2} - 1 - \frac{4}{9} + 100 = 100\frac{1}{18} )。 （2）原式 ( = \log_3 3^{\frac{3}{2}} + \lg(25 \times 4) + 2 + 1 = \frac{3}{2} + \lg 100 + 3 = \frac{3}{2} + 2 + 3 = \frac{13}{2} )。
解：（1）函数 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1-1}{x_1+1} - \frac{2x_2-1}{x_2+1} = \frac{(2x_1-1)(x_2+1) - (2x_2-1)(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 因为 ( x_1, x_2 \geq 1 )，( x_1+1 > 0, x_2+1 > 0 )，又 ( x_1 < x_2 )，( x_1 - x_2 < 0 )。 故 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。
（2）由（1）知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递增。 ( f(x){\text{min}} = f(2) = 1 )， ( f(x){\text{max}} = f(5) = \frac{3}{2} )。 故函数 ( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上的值域为 ( [1, \frac{3}{2}] )。
- 解：（1）当 ( a = 2 ) 时， ( f(x) = \log_2 (3 - 2x) )。 由 ( 3 - 2x > 0 )，得 ( x < \frac{3}{2} )。 所以函数定义域为 ( (-\infty, \frac{3}{2}) )。
（2）假设存在这样的实数 ( a )。 令 ( u = 3 - ax )，则 ( y = \log_a u )。 因为 ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )，且 ( f(x) ) 在 ( [1, 2] ) 上单调递减， ( u = 3 - ax ) 在 ( [1, 2] ) 上需单调递减，且 ( u > 0 ) 恒成立。 ( a > 0 ) 且 ( 3 - a \cdot 2 > 0 )，解得 ( 0 < a < \frac{3}{2} )。 又因为 ( y = \loga u ) 是减函数，( 0 < a < 1 )。 综上， ( 0 < a < 1 )。 ( u ) 在 ( [1, 2] ) 上的最小值为 ( u{\text{min}} = 3 - 2a )。 因为 ( f(x) ) 最大值为 1，( \log_a (3 - 2a) = 1 )，即 ( 3 - 2a = a )，解得 ( a = 1 )。 但 ( a = 1 ) 与 ( 0 < a < 1 ) 矛盾。 故不存在这样的实数 ( a )。
- 解：（1）( f(x) ) 为奇函数。 证明：令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) = f(0) + f(0) )，( f(0) = 0 )。 令 ( y = -x )，得 ( f(0) = f(x) + f(-x) = 0 )，( f(-x) = -f(x) )。 故 ( f(x) ) 为奇函数。
（2）( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} )，且 ( x_1 < x_2 )，则 ( x_2 - x_1 > 0 )。 由已知，当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) < 0 )，( f(x_2 - x_1) < 0 )。 又 ( f(x_2) = f((x_2 - x_1) + x_1) = f(x_2 - x_1) + f(x_1) )， ( f(x_2) - f(x_1) = f(x_2 - x_1) < 0 )，即 ( f(x_2) < f(x_1) )。 故 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减。
（3）由已知不等式及 ( f(x) ) 为奇函数，得 ( f(ax^2 + 2x) < f(-2 + a) )。 因为 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减， ( ax^2 + 2x > -2 + a ) 对任意 ( x \in [1, 3] ) 恒成立。 即 ( a(x^2 - 1) > -2(x + 1) ) 对任意 ( x \in [1, 3] ) 恒成立。 当 ( x = 1 ) 时，不等式化为 ( 0 > -4 )，恒成立。 当 ( x \in (1, 3] ) 时， ( x^2 - 1 > 0 )，则 ( a > -\frac{2(x+1)}{x^2-1} = -\frac{2}{x