（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知复数 ( z = \frac{1+i}{1-i} )，则 ( z ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
命题“( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + a > 0 )”的否定是（ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + a \leq 0 ) B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + a \leq 0 ) C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + a > 0 ) D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + a < 0 )
在等差数列 ({a_n}) 中，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
已知双曲线 ( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 ) 的离心率为 ( e )，则 ( e = )（ ） A. ( \frac{\sqrt{13}}{2} ) B. ( \frac{\sqrt{13}}{3} ) C. ( \frac{3}{2} ) D. ( \frac{13}{4} )
已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 1 )，则曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, -1) ) 处的切线方程为（ ） A. ( y = -1 ) B. ( y = -x ) C. ( y = -x - 2 ) D. ( y = 0 )
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 4) )，且 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则实数 ( x = )（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5} )，则 ( \tan \alpha = )（ ） A. ( -\frac{4}{3} ) B. ( -\frac{3}{4} ) C. ( \frac{4}{3} ) D. ( \frac{3}{4} )
已知直线 ( l: x - y + 3 = 0 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 = 4 ) 相交于 ( A, B ) 两点，则弦长 ( |AB| = )（ ） A. ( \sqrt{2} ) B. ( 2 ) C. ( 2\sqrt{2} ) D. ( 4 )
已知 ( a = \log_2 3, b = \log_3 4, c = 2^{0.5} )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( a < b < c ) B. ( b < a < c ) C. ( c < a < b ) D. ( a < c < b )
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) (\omega > 0) ) 的最小正周期为 ( \pi )，则 ( f(\frac{\pi}{3}) = )（ ） A. ( \frac{1}{2} ) B. ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) C. ( -\frac{1}{2} ) D. ( -\frac{\sqrt{3}}{2} )
如图,在正三棱柱 ( ABC-A_1B_1C_1 ) 中，( AB = 2, AA_1 = 3 )，则异面直线 ( A_1B ) 与 ( AC_1 ) 所成角的余弦值为（ ） A. ( \frac{1}{4} ) B. ( \frac{1}{3} ) C. ( \frac{\sqrt{2}}{4} ) D. ( \frac{\sqrt{3}}{4} )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \ -x^2 + 2x + a, & x > 0 \end{cases} ) 有最小值，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( [1, +\infty) ) B. ( (-\infty, 1] ) C. ( [0, +\infty) ) D. ( (-\infty, 0] )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知集合 ( A = {x | -2 < x < 3}, B = {x | x^2 - 4x \leq 0} )，则 ( A \cap B = )__。
已知 ( (x - \frac{2}{\sqrt{x}})^n ) 的展开式中第4项为常数项，则正整数 ( n = )__。
已知抛物线 ( y^2 = 8x ) 的焦点为 ( F )，点 ( P ) 在抛物线上，且 ( |PF| = 10 )，则点 ( P ) 的横坐标为__。
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，且当 ( x \geq 0 ) 时，( f(x) = x^2 + 2x )，若 ( f(m) + f(3m - 4) \leq 0 )，则实数 ( m ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A )。 （1）求角 ( A ) 的大小； （2）若 ( a = 2\sqrt{3}, b = 2 )，求 ( \triangle ABC ) 的面积。
（12分）已知数列 ({a_n}) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )。 （1）求数列 ({a_n}) 的通项公式； （2）设 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 ({ \frac{1}{bn \cdot b{n+1}} }) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，且 ( PA = 2 )。 （1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )； （2）求二面角 ( B-PC-D ) 的正弦值。
（12分）某学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从全校学生中随机抽取了100名进行问卷调查，将他们的满意度评分（满分100分）分成 ( [50,60), [60,70), \ldots, [90,100] ) 五组，制成如图所示的频率分布直方图。 （1）求图中 ( a ) 的值，并估计该校学生满意度评分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代表）； （2）若满意度评分不低于80分为“满意”，现从评分在 ( [80,100] ) 的学生中，按分层抽样抽取6人进行座谈，再从这6人中随机抽取2人发言，求这2人评分都在 ( [90,100] ) 的概率。
（12分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。 （1）求椭圆 ( C ) 的标准方程； （2）设 ( F_1, F_2 ) 为椭圆 ( C ) 的左、右焦点，过 ( F_2 ) 的直线 ( l ) 交椭圆于 ( A, B ) 两点，求 ( \triangle F_1AB ) 面积的最大值。
（12分）已知函数 ( f(x) = \ln x - ax + 1 )。 （1）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （2）若 ( f(x) \leq 0 ) 对 ( x \in (0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高二年级数学学科期末考试试卷参考答案
选择题
- A 2. B 3. A 4. A 5. D 6. A
- B 8. C 9. B 10. A 11. A 12. A
填空题13. ( {x | 0 \leq x < 3} ) 14. ( 9 ) 15. ( 8 ) 16. ( (-\infty, 1] )
解答题17. （1）由正弦定理及已知得 ( \sin B \cos C + \sin C \cos B = 2 \sin A \cos A )， 即 ( \sin(B+C) = \sin A = 2 \sin A \cos A )。 ∵ ( \sin A \neq 0 )，∴ ( \cos A = \frac{1}{2} )，又 ( A \in (0, \pi) )，∴ ( A = \frac{\pi}{3} )。 （2）由正弦定理 ( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} )，得 ( \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{1}{2} )。 ∵ ( a > b )，∴ ( B = \frac{\pi}{6} )，则 ( C = \frac{\pi}{2} )。 ∴ ( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} ab = 2\sqrt{3} )。
（1）当 ( n=1 ) 时，( a_1 = S_1 = 2a_1 - 2 )，解得 ( a_1 = 2 )。 当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 2) - (2a{n-1} - 2) = 2an - 2a{n-1} )， 即 ( an = 2a{n-1} )。∴ ({a_n}) 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ( a_n = 2^n )。 （2）( b_n = \log_2 2^n = n )，∴ ( \frac{1}{bn b{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )。 ∴ ( T_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} )。
（1）证明：∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，∴ ( PA \perp BD )。 又底面 ( ABCD ) 为正方形，∴ ( AC \perp BD )。 ∵ ( PA \cap AC = A )，∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )。 （2）以 ( A ) 为原点，建立空间直角坐标系，易得平面 ( PBC ) 与平面 ( PDC ) 的法向量，计算二面角余弦值后得正弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{3} )。
（1）由 ( (0.005 + 0.02 + a + 0.035 + 0.01) \times 10 = 1 )，解得 ( a = 0.03 )。 平均值估计为 ( 55 \times 0.05 + 65 \times 0.2 + 75 \times 0.3 + 85 \times 0.35 + 95 \times 0.1 = 78.5 )。 （2）评分在 ( [80,90) ) 与 ( [90,100] ) 的人数比为 ( 0.035:0.01 = 7:2 )， 故抽取的6人中，( [80,90) ) 有4人（记作 ( a,b,c,d )），( [90,100] ) 有2人（记作 ( E,F )）。 从6人中任选2人，基本事件共15种，其中2人评分都在 ( [90,100] ) 只有1种 ( (E,F) )。 故所求概率为 ( P = \frac{1}{15} )。
（1）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ) 得 ( a = 2c )，则 ( b^2 = a^2 - c^2 = 3c^2 )。 将点 ( (1, \frac{3}{2}) ) 代入椭圆方程得 ( \frac{1}{4c^2} + \frac{9}{4 \cdot 3c^2} = 1 )，解得 ( c^2 = 1 )，故 ( a^2 = 4, b^2 = 3 )。 椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。 （2）设直线 ( l: x = my + 1 )，与椭圆联立，利用弦长公式和点到直线距离，得面积表达式 ( S = \frac{12\sqrt{m^2+1}}{4m^2+3} )，令 ( t = \sqrt{m^2+1} \geq 1 )，得 ( S = \frac{12t}{4t^2-1} \leq 3\sqrt{3} )，当 ( t = \frac{\sqrt{3}}{2} )（即 ( m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} )）时取等号。
（1）( f'(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1 - ax}{x} \ (x > 0) )。 当 ( a \leq 0 ) 时，( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 单调递增； 当 ( a > 0 ) 时，令 ( f'(x) = 0 ) 得 ( x = \frac{1}{a} )。 在 ( (0, \frac{1}{a}) ) 上 ( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 单调递增；在 ( (\frac{1}{a}, +\infty) ) 上 ( f'(x) < 0 )，( f(x) ) 单调递减。 （2）由（1）知，当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 单调递增，且当 ( x \to +\infty ) 时，( f(x) \to +\infty )，不符合题意。 当 ( a > 0 ) 时，( f(x)_{\text{max}} = f(\frac{1}{a}) = \ln \frac{1}{a} - a \cdot \frac{1}{a} + 1 = -\ln a )。 由 ( f(x) \leq 0 ) 恒成立得 ( -\ln a \leq 0 )，即 ( \ln a \geq 0 )，故 ( a \geq 1 )。 综上，实数 ( a ) 的取值范围是 ( [1, +\infty) )。
试卷说明：本试卷严格依据高二数学常见知识点（集合、函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计、导数等）进行设计，难度适中，结构完整，并附有参考答案，可用于模拟考试或综合练习。