（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
在空间直角坐标系中,点 (P(1, -2, 3)) (xOy) 平面的对称点坐标是（ ） A. ((-1, 2, 3))
B. ((1, -2, -3))
C. ((1, 2, 3))
D. ((-1, -2, 3))已知直线 (l) 的倾斜角为 (120^\circ)，则其斜率 (k) 为（ ） A. (\sqrt{3})
B. (-\sqrt{3})
C. (\frac{\sqrt{3}}{3})
D. (-\frac{\sqrt{3}}{3})已知圆 (C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0)，则圆心坐标和半径分别为（ ） A. ((2, -3), 5)
B. ((-2, 3), 5)
C. ((2, -3), \sqrt{5})
D. ((-2, 3), \sqrt{5})已知直线 (l_1: 2x - y + 1 = 0) 与直线 (l_2: x + ay - 2 = 0) 垂直，则实数 (a) 的值为（ ） A. (-2)
B. (2)
C. (-\frac{1}{2})
D. (\frac{1}{2})已知 (\alpha)，(\beta) 是两个不同的平面，(m)，(n) 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若 (m \parallel \alpha)，(n \parallel \alpha)，则 (m \parallel n)
B. 若 (m \parallel \alpha)，(m \parallel \beta)，则 (\alpha \parallel \beta)
C. 若 (m \perp \alpha)，(n \perp \alpha)，则 (m \parallel n)
D. 若 (m \perp \alpha)，(m \perp n)，则 (n \parallel \alpha)已知 (A(1, 2))，(B(3, 1))，则线段 (AB) 的垂直平分线方程为（ ） A. (4x - 2y - 5 = 0)
B. (4x + 2y - 5 = 0)
C. (2x - 4y + 5 = 0)
D. (2x + 4y - 5 = 0)圆 (x^2 + y^2 = 4) 与圆 (x^2 + y^2 - 4x + 4y - 8 = 0) 的位置关系是（ ） A. 内切
B. 外切
C. 相交
D. 相离已知正四棱锥的底面边长为 (2)，侧棱长为 (\sqrt{3})，则该四棱锥的高为（ ） A. (1)
B. (\sqrt{2})
C. (\frac{\sqrt{2}}{2})
D. (\frac{\sqrt{6}}{2})已知直线 (l: x - y + 3 = 0) 与圆 (C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4)，则直线 (l) 被圆 (C) 截得的弦长为（ ） A. (2\sqrt{2})
B. (2)
C. (\sqrt{2})
D. (4)在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，异面直线 (A_1B) 与 (AD_1) 所成角的大小为（ ） A. (30^\circ)
B. (45^\circ)
C. (60^\circ)
D. (90^\circ)已知点 (P) 是直线 (3x + 4y - 10 = 0) 上的动点，点 (Q) 是圆 (x^2 + y^2 = 1) 上的动点，则 (|PQ|) 的最小值为（ ） A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)已知三棱锥 (P-ABC) 的所有顶点都在球 (O) 的球面上，(PA \perp) 平面 (ABC)，(AB \perp BC)，且 (PA = AB = BC = 2)，则球 (O) 的表面积为（ ） A. (8\pi)
B. (12\pi)
C. (16\pi)
D. (24\pi)
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知空间两点 (A(1, 0, 2))，(B(2, 1, -1))，则 (|AB| =)__。
已知直线 (l) 过点 (P(2, -1))，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 (l) 的方程为__。
已知圆锥的母线长为 (5)，底面半径为 (3)，则该圆锥的体积为__。
已知圆 (C_1: x^2 + y^2 = 1) 与圆 (C_2: (x-3)^2 + (y-4)^2 = r^2 \ (r>0)) 内切，则 (r =)__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）
已知三角形 (ABC) 的三个顶点分别为 (A(1, 2))，(B(3, 4))，(C(-1, 0))。
（1）求边 (BC) 所在直线的方程；
（2）求边 (BC) 边上的高线所在直线的方程。（12分）
如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 是正方形，(PA \perp) 底面 (ABCD)。
（1）求证：(BD \perp) 平面 (PAC)；
（2）若 (PA = AB = 2)，求四棱锥 (P-ABCD) 的体积。（12分）
已知圆 (C) 的圆心在直线 (y = 2x) 上，且经过点 (A(3, 2)) 和 (B(1, 4))。
（1）求圆 (C) 的标准方程；
（2）求过点 (P(2, 1)) 且与圆 (C) 相切的直线方程。（12分）
已知直线 (l: (m+2)x + (1-2m)y + 4m - 2 = 0 \ (m \in \mathbb{R}))。
（1）证明：直线 (l) 恒过定点 (M)，并求出定点坐标；
（2）若直线 (l) 与 (x) 轴、(y) 轴的正半轴分别交于 (A)，(B) 两点，求 (\triangle AOB) 面积最小时直线 (l) 的方程。（12分）
如图，在直三棱柱 (ABC-A_1B_1C_1) 中，(AC = BC = \frac{1}{2}AA_1 = 1)，(D) 是棱 (AA_1) 的中点，(\angle ACB = 90^\circ)。
（1）求证：(C_1D \perp) 平面 (BCD)；
（2）求点 (C_1) 到平面 (BCD) 的距离。（12分）
在平面直角坐标系 (xOy) 中，已知圆 (O: x^2 + y^2 = 4)，点 (A(4, 0))，过点 (A) 的直线 (l) 与圆 (O) 相交于不同的两点 (M)，(N)。
（1）若 (|MN| = 2\sqrt{3})，求直线 (l) 的方程；
（2）设弦 (MN) 的中点为 (P)，求点 (P) 的轨迹方程。
2025年高中数学必修二综合测试卷（参考答案）
选择题
- B
- B
- A
- A
- C
- A
- C
- A
- A
- C
- A
- B
填空题13. (\sqrt{11})
14. (x + y - 1 = 0) 或 (x - 2y - 4 = 0) （注：截距为0时方程为 (x - 2y - 4 = 0)）
15. (12\pi)
16. (4) 或 (6) （注：两圆内切，圆心距 (d=5)，故 (r=5\pm1)，即 (r=4) 或 (r=6)）
解答题17.
（1）(k_{BC} = \frac{4-0}{3-(-1)} = 1)，方程：(y - 0 = 1 \cdot (x + 1))，即 (x - y + 1 = 0)。
（2）高线斜率 (k = -1)，过 (A(1, 2))，方程：(y - 2 = -1 \cdot (x - 1))，即 (x + y - 3 = 0)。
（1）证明：∵ (PA \perp) 底面 (ABCD)，∴ (PA \perp BD)。
∵ 底面 (ABCD) 是正方形，∴ (AC \perp BD)。
又 (PA \cap AC = A)，∴ (BD \perp) 平面 (PAC)。
（2）体积 (V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times PA = \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 2 = \frac{8}{3})。（1）设圆心 (C(a, 2a))，由 (|CA| = |CB|) 得：
((a-3)^2 + (2a-2)^2 = (a-1)^2 + (2a-4)^2)，解得 (a = 2)。
圆心 (C(2, 4))，半径 (r = |CA| = \sqrt{(2-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{5})。
圆的标准方程：((x-2)^2 + (y-4)^2 = 5)。
（2）当切线斜率存在时，设方程为 (y-1 = k(x-2))，由圆心到直线距离等于半径得：
(\frac{|k \cdot 2 - 4 + 1 - 2k|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{5})，化简得 (k = -\frac{1}{2})，切线方程为 (x + 2y - 4 = 0)。
当斜率不存在时，直线 (x=2) 与圆相交，不满足。
故切线方程为 (x + 2y - 4 = 0)。（1）将方程整理为 (m(x - 2y + 4) + (2x + y - 2) = 0)，
令 (\begin{cases} x - 2y + 4 = 0 \ 2x + y - 2 = 0 \end{cases})，解得 (x=0, y=2)，故定点 (M(0, 2))。
（2）设直线方程为 (\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \ (a>0, b>0))，过 (M(0,2)) 得 (b=2)，过定点 (M) 且与正半轴相交，需斜率 (k<0)，
由 (M) 在直线上得 (\frac{0}{a} + \frac{2}{b} = 1)，即 (b=2)。
又直线过 (M(0,2)) 和 ((a,0))，斜率 (k = -\frac{2}{a})，方程为 (y = -\frac{2}{a}x + 2)。
面积 (S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a \cdot 2 = a)，当 (a) 最小时面积最小，此时直线过 (M) 且与两轴正半轴相交，
当 (a \to 0^+) 时，直线趋于垂直，但需构成三角形，故当直线过 (M(0,2)) 和 ((2,0)) 时，(a=2)，(S_{\min}=2)，
此时直线方程为 (x + y - 2 = 0)。（1）证明：由直三棱柱性质，(CC_1 \perp) 平面 (ABC)，又 (BC \subset) 平面 (ABC)，∴ (CC_1 \perp BC)。
∵ (\angle ACB = 90^\circ)，∴ (BC \perp AC)，又 (AC \cap CC_1 = C)，∴ (BC \perp) 平面 (ACC_1A_1)。
∵ (C_1D \subset) 平面 (ACC_1A_1)，∴ (BC \perp C_1D)。
在矩形 (ACC_1A_1) 中，(AC = 1)，(AA_1 = 2)，(D) 为 (AA_1) 中点，∴ (AD = 1)，(C_1D = \sqrt{CC_1^2 + C_1D_1^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5})，
(CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{2})，又 (CC_1 = 2)，有 (C_1D^2 + CD^2 = 5 + 2 = 7)，(CC_1^2 = 4)，不满足勾股定理，需重新计算：
应计算 (C_1D) 与 (BD) 或 (CD) 的垂直关系，更简便方法：
由 (BC \perp) 平面 (ACC_1A_1) 得 (BC \perp C_1D)，又计算 (C_1D) 与 (CD) 垂直：
(CD^2 = AC^2 + AD^2 = 1+1=2)，(C_1D^2 = C_1A_1^2 + A_1D^2 = 1+1=2)，(CC_1^2=4)，
满足 (CD^2 + C_1D^2 = 4 = CC_1^2)，∴ (C_1D \perp CD)。
又 (CD \cap BC = C)，∴ (C_1D \perp) 平面 (BCD)。
（2）由（1）知 (C_1D \perp) 平面 (BCD)，且 (C_1D = \sqrt{2})，故点 (C_1) 到平面 (BCD) 的距离即为 (C_1D) 的长度 (\sqrt{2})。（1）圆 (O) 半径 (r=2)，弦长 (|MN|=2\sqrt{3})，则圆心 (O) 到直线 (l) 的距离 (d = \sqrt{r^2 - (\frac{|MN|}{2})^2} = \sqrt{4-3}=1)。
设直线 (l) 方程为 (y = k(x-4))，即 (kx - y - 4k = 0)，由 (\frac{|-4k|}{\sqrt{k^2+1}} = 1)，解得 (k = \pm \frac{\sqrt{15}}{15})。
故直线方程为 (y = \pm \frac{\sqrt{15}}{15}(x-4))。
（2）设 (P(x, y))，由 (OP \perp AP) 得 (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = 0)，即 ((x, y) \cdot (x-4, y) = 0)，
化简得 (x^2 + y^2 - 4x = 0)，即 ((x-2)^2 + y^2 = 4)。
又点 (P) 在圆 (O) 内部，故轨迹方程为 ((x-2)^2 + y^2 = 4 \ (x^2+y^2<4))。