（不含答案）

本试卷目录导读：

1. 试卷内容
2. 试卷标题（含答案版）
3. 参考答案及解析

2025年高中学业水平模拟考试（一）数学（必修一 电子版）

注意事项：

1. 本试卷共4页，满分150分,考试时间120分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4, 5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = ) （ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {1, 3} ) \quad C. ( {1, 2} ) \quad D. ( {1, 2, 3} )

2. 命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \ge 2x ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad B. ( \exists x \le 0, \, x^2 + 1 < 2x ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad D. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \ge 2x )

3. 函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是 （ ） A. ( [2, +\infty) ) \quad B. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )

4. 已知 ( a， b \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad B. ( a^2 > b^2 ) \quad C. ( a^3 > b^3 ) \quad D. ( |a| > |b| )

5. 设函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \ 2^x, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = ) （ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 4

6. 已知函数 ( f(x) = ax^3 + bx + 2 )，若 ( f(2024) = 5 )，则 ( f(-2024) = ) （ ） A. -5 \quad B. -1 \quad C. 1 \quad D. 5

7. 设 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{0.2} )， ( c = \log_{0.2} 0.3 )，则 ( a， b， c ) 的大小关系为 （ ） A. ( a > b > c ) \quad B. ( b > a > c ) \quad C. ( c > b > a ) \quad D. ( a > c > b )

8. 已知奇函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，且 ( f(3) = 0 )，则不等式 ( (x-1) \cdot f(x) > 0 ) 的解集为 （ ） A. ( (-3, 0) \cup (1, 3) ) \quad B. ( (-3, 0) \cup (0, 3) ) C. ( (-\infty, -3) \cup (1, 3) ) \quad D. ( (-\infty, -3) \cup (0, 3) )

多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）

9. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) D. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 )

10. 已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c \ge 0 ) 的解集为 ( {x | -2 \le x \le 3} )，则 （ ） A. ( a < 0 ) B. ( a - b + c > 0 ) C. ( x ) 的不等式 ( cx^2 + bx + a < 0 ) 的解集为 ( {x | x < -\frac{1}{3} \text{ 或 } x > \frac{1}{2} } ) D. ( c > 0 )

11. 已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且 ( f(x+y) = f(x) + f(y) - 1 ) 对任意实数 ( x, y ) 都成立， ( f(1) = 3 )，则下列说法正确的是 （ ） A. ( f(0) = 1 ) B. ( f(x) ) 是奇函数 C. ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上是增函数 D. 若 ( f(a^2 - 2) + f(2a) > 4 )，则实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, -1-\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}-1, +\infty) )

填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）

12. 已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 2m - 2) \cdot x^{m-1} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，则 ( m = )__。
13. 函数 ( f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 3) ) 的单调递增区间是__。
14. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 ( y )（单位：万元）与机器运转时间 ( x )（单位：年）的关系为 ( y = -x^2 + 18x - 25 )，则当每台机器运转__年时，年平均利润最大，最大年平均利润为__万元。

解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15. （13分）已知集合 ( A = {x | 3 \le x < 7} )， ( B = {x | 4 < x < 10} )， ( C = {x | x < a} )。 （1）求 ( A \cup B )， ( \complement_{\mathbb{R}} (A \cap B) )； （2）若 ( A \cap C \neq \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。

16. （15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。

17. （15分）已知函数 ( f(x) = \log_a (3 - ax) ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \ne 1 ) ）。 （1）当 ( a = 2 ) 时，求函数 ( f(x) ) 的定义域； （2）若函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, 1] ) 上是减函数，求实数 ( a ) 的取值范围。

18. （17分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意 ( x, y \in \mathbb{R} )，都有 ( f(x+y) = f(x) + f(y) )，且当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) < 0 )，又 ( f(1) = -2 )。 （1）求证： ( f(x) ) 为奇函数； （2）判断 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于 ( x ) 的不等式： ( f(x^2) + f(2x) > -6 )。

19. （17分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) （ ( a, b, c \in \mathbb{R} ) ）。 （1）若不等式 ( f(x) > 0 ) 的解集为 ( {x | -3 < x < 1} )，求 ( f(2x) \le 0 ) 的解集； （2）若 ( a = 1 )，且方程 ( f(x) = 0 ) 有两个相等的正实数根。 （i）求 ( b, c ) 满足的关系式； （ii）若 ( f(x) ) 在区间 ( [m, n] ) 上的最小值为 ( m )，最大值为 ( n )，且 ( n > m > 0 )，求实数 ( m, n ) 的值。

（试卷结束）

（含答案版）

2025年高中学业水平模拟考试（一）参考答案及解析数学（必修一 电子版）

参考答案及解析

单项选择题

1. A解析：( \complement_U B = {1, 2} )，故 ( A \cap ( \complement_U B ) = {1} )。
2. C解析：全称量词命题的否定是特称量词命题,并否定结论。
3. B解析：需满足 ( x-2 \ge 0 ) 且 ( x-3 \ne 0 )，解得 ( x \ge 2 ) 且 ( x \ne 3 )。
4. C解析：函数 ( y = x^3 ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，故 ( a > b ) 时必有 ( a^3 > b^3 )。
5. C解析：( f(0) = 0^2 + 1 = 1 )， ( f(f(0)) = f(1) = 1^2 + 1 = 2 )。
6. B解析：令 ( g(x) = ax^3 + bx )，则 ( g(x) ) 为奇函数。( f(x) = g(x) + 2 )，由 ( f(2024) = g(2024) + 2 = 5 )，得 ( g(2024) = 3 )，故 ( f(-2024) = g(-2024) + 2 = -3 + 2 = -1 )。
7. A解析：( a = 2^{0.3} > 2^0 = 1 )， ( 0 < b = 0.3^{0.2} < 1 )， ( c = \log_{0.2} 0.3 < 0 )，故 ( a > b > c )。
8. A解析：由奇函数在 ( (-\infty, 0) ) 上也递减，且 ( f(-3) = -f(3) = 0 )，可画出示意图，不等式 ( (x-1)f(x) > 0 ) 等价于 ( \begin{cases} x > 1 \ f(x) > 0 \end{cases} ) 或 ( \begin{cases} x < 1 \ f(x) < 0 \end{cases} )，结合图像，解集为 ( (-3, 0) \cup (1, 3) )。

多项选择题9.AD解析：A定义域、对应法则均相同；B定义域不同（( f(x) ) 定义域为 ( x \ne 1 )）；C定义域不同（( f(x) ) 定义域为 ( \mathbb{R} )， ( g(x) ) 定义域为 ( [0, +\infty) )）；D定义域均为 ( x \ne 0 )，且对应法则均为输出1。 10.BCD解析：由解集形式知 ( a < 0 )，且 ( -2, 3 ) 是方程 ( ax^2+bx+c=0 ) 的两根。∴ ( -\frac{b}{a} = 1 )， ( \frac{c}{a} = -6 )，即 ( b = -a > 0 )， ( c = -6a > 0 )。∴ ( a-b+c = a - (-a) + (-6a) = -4a > 0 )，B、D正确，不等式 ( cx^2+bx+a < 0 ) 即 ( -6ax^2 - ax + a < 0 )（( a<0 )），两边同除以 ( a ) 得 ( -6x^2 - x + 1 > 0 )，即 ( 6x^2 + x - 1 < 0 )，解得 ( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} )，故C错误。 11.ACD解析：令 ( x=y=0 )，得 ( f(0)=2f(0)-1 )，∴ ( f(0)=1 )，A正确，令 ( y=-x )，得 ( f(0)=f(x)+f(-x)-1 )，即 ( f(x)+f(-x)=2 )，∴ ( f(x) ) 不是奇函数（若为奇函数，则和为0），B错误，设 ( x_1 > x_2 )，则 ( f(x_1)-f(x_2) = f(x_1-x_2 + x_2) - f(x_2) = f(x_1-x_2) + f(x_2) -1 - f(x_2) = f(x_1-x_2) - 1 )。∵ ( x_1-x_2 > 0 )，可证 ( f(t) > 1 ) 对 ( t>0 ) 恒成立（由 ( f(1)=3 )，利用递推可证 ( f(\frac{1}{2^n})>1 ) 并推广），故 ( f(x_1)-f(x_2) > 0 )，函数递增，C正确，不等式 ( f(a^2-2)+f(2a) > 4 ) 即 ( f(a^2+2a-2) - 1 > 4 )，∴ ( f(a^2+2a-2) > 5 )，又 ( f(2) = f(1)+f(1)-1 = 5 )，由单调性得 ( a^2+2a-2 > 2 )，解得 ( a < -1-\sqrt{3} ) 或 ( a > \sqrt{3}-1 ),D正确。

填空题12.-1解析：由幂函数定义得 ( m^2-2m-2=1 )，解得 ( m=3 ) 或 ( m=-1 )，当 ( m=3 ) 时， ( f(x)=x^2 ) 在 ( (0,+\infty) ) 递增，舍去；当 ( m=-1 ) 时， ( f(x)=x^{-2} ) 递减，符合。 13.( (-\infty, 1) )解析：令 ( u = x^2-4x+3 )，由 ( u>0 ) 得定义域为 ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) )，外层函数 ( y=\log{\frac{1}{2}} u ) 递减，求 ( f(x) ) 的增区间即求 ( u ) 的减区间。( u ) 在 ( (-\infty, 1) ) 上递减，故答案为 ( (-\infty, 1) )。 14.5， 2解析：年平均利润为 ( \frac{y}{x} = -x - \frac{25}{x} + 18 )， ( x > 0 )，由基本不等式， ( x + \frac{25}{x} \ge 10 )，当且仅当 ( x=5 ) 时取等，故 ( \frac{y}{x} \le -10 + 18 = 8 )，最大年平均利润为8万元，题目问法有歧义，若按“总利润”最大，则 ( y = -(x-9)^2+56 )，当 ( x=9 ) 时， ( y{max}=56 )，但根据问题“年平均利润最大”，应填5， 8，原题第14问第二空疑