- 本试卷共四大题,23小题，满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前,请将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置。
- 答案需写在答题卡上,写在试卷上无效。
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { 1, a } )，且 ( A = B )，则实数 ( a ) 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
下列函数中,与函数 ( y = x ) 表示同一函数的是（ ） A. ( y = \sqrt{x^2} ) B. ( y = (\sqrt{x})^2 ) C. ( y = \frac{x^2}{x} ) D. ( y = \sqrt[3]{x^3} )
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{0.2} )， ( c = \log_{0.2} 0.3 )，则三者的大小关系为（ ） A. ( c < b < a ) B. ( b < a < c ) C. ( a < b < c ) D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln x + 2x - 6 ) 的零点所在区间是（ ） A. (1, 2) B. (2, 3) C. (3, 4) D. (4, 5)
设 ( a > 0 )，且 ( a \neq 1 )，则“函数 ( f(x) = a^x ) 在 ( R ) 上单调递增”是“函数 ( g(x) = x^a ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
中国的5G技术领先世界,5G信号的传输离不开数学中的指数运算，若一个5G基站覆盖面积的计算公式为 ( S = \pi \cdot 10^{ \frac{P}{10} } )（单位：平方公里），( P ) 为基站功率（单位：瓦），当基站功率增大10瓦时，覆盖面积变为原来的（ ） A. 1倍 B. 10倍 C. 100倍 D. 1000倍
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 3, & x \leq 1 \ \frac{2a}{x}, & x > 1 \end{cases} ) 在 ( R ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (-\infty, 0) ) B. ( [0, 2) ) C. ( (0, 2] ) D. ( [0, 2] )
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列结论中正确的有（ ） A. ( \sqrt{(-2)^2} = -2 ) B. 已知集合 ( A = { x | ax^2 + 2x + 1 = 0 } ) 中只有一个元素，则 ( a = 1 ) C. 已知 ( x > 1 )，则 ( x + \frac{4}{x-1} ) 的最小值为5 D. 不等式 ( 2x^2 - 5x - 3 < 0 ) 的解集为 ( \left( -\frac{1}{2}, 3 \right) )
关于函数 ( f(x) = |x-1| - 2 )，下列说法正确的有（ ） A. 定义域为 ( R ) B. 值域为 ( [-2, +\infty) ) C. 在 ( (-\infty, 1] ) 上单调递减 D. 图像关于直线 ( x = 1 ) 对称
已知正实数 ( a )， ( b ) 满足 ( a + b = 1 )，则下列结论正确的有（ ） A. ( ab ) 的最大值为 ( \frac{1}{4} ) B. ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值为4 C. ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) 的最大值为 ( \sqrt{2} ) D. ( a^2 + b^2 ) 的最小值为 ( \frac{1}{2} )
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知全集 ( U = R )，集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，则 ( \complement_U A = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
为了节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下： 每户每月用电量不超过200度部分，按0.5元/度计费； 超过200度但不超过400度的部分，按0.7元/度计费； 超过400度的部分，按0.9元/度计费。 若某户居民本月应交电费 ( y )（元）与用电量 ( x )（度）的函数关系用分段函数表示为 ( y = \begin{cases} 0.5x, & 0 \leq x \leq 200 \ a + bx, & 200 < x \leq 400 \ c + dx, & x > 400 \end{cases} )，则常数 ( a = )__， ( d = )__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）计算下列各式的值： （1）( (2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - (-9.6)^0 - (\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} + (\frac{3}{2})^{-2} )； （2）( 2\lg 5 + \lg 4 + \ln \sqrt{e} + \log_2 3 \cdot \log_3 4 )。
（15分）已知集合 ( A = { x | \frac{x-4}{x+2} \leq 0 } )， ( B = { x | 2m - 1 \leq x \leq m + 1 } )。 （1）求集合 ( A )； （2）若“ ( x \in A ) ”是“ ( x \in B ) ”的充分不必要条件，求实数 ( m ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性并证明； （2）求证：函数 ( f(x) ) 在 ( R ) 上是增函数； （3）解不等式 ( f(2x) > f(x-1) )。
（17分）某企业生产一种电子设备的固定成本为20000元，每生产一台需要另投入100元，已知该设备市场售价为每台300元，且该企业的产量在200台以内（含200台）时可以全部售出；产量超过200台时，超出部分需打8折促销。 （1）将利润 ( y )（元）表示为产量 ( x )（台）的函数； （2）当产量为何值时，企业所获利润最大？最大利润是多少元？
（17分）已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) )，( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域，并判断其奇偶性； （2）若函数 ( f(x) ) 的最大值为 -2，求实数 ( a ) 的值； （3）在（2）的条件下，若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) = m ) 在区间 ( [-2, 0] ) 上有解，求实数 ( m ) 的取值范围。
2025年高中数学必修一综合测试卷（带答案）
单项选择题
B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. B 8. D
多项选择题9. CD 10. ABD 11. ABD
填空题12. ( (-\infty, -2] \cup (3, +\infty) ) 或写成 ( { x | x \leq -2 \, \text{或} \, x > 3 } ) 13. 1 14. ( a = -40 )， ( d = 0.9 )
解答题15. （1）解：原式 ( = (\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} - 1 - [(\frac{3}{2})^3]^{-\frac{2}{3}} + (\frac{2}{3})^2 ) ( = \frac{3}{2} - 1 - (\frac{3}{2})^{-2} + \frac{4}{9} ) ( = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} + \frac{4}{9} ) ( = \frac{1}{2} ) （2）解：原式 ( = \lg(5^2) + \lg 4 + \frac{1}{2} + \frac{\lg 3}{\lg 2} \cdot \frac{2\lg 2}{\lg 3} ) ( = \lg(25 \times 4) + \frac{1}{2} + 2 ) ( = \lg 100 + \frac{5}{2} ) ( = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} )
（1）解：由 ( \frac{x-4}{x+2} \leq 0 )，得 ( (x-4)(x+2) \leq 0 ) 且 ( x \neq -2 )。 解得 ( -2 < x \leq 4 )。 ( A = (-2, 4] )。 （2）解：因为“ ( x \in A ) ”是“ ( x \in B ) ”的充分不必要条件，( A \subsetneq B )。 当 ( B = \varnothing ) 时， ( 2m - 1 > m + 1 )，解得 ( m > 2 )。 当 ( B \neq \varnothing ) 时，有 ( \begin{cases} 2m - 1 \leq m + 1 \ 2m - 1 \leq -2 \ m + 1 \geq 4 \end{cases} )，即 ( \begin{cases} m \leq 2 \ m \leq -\frac{1}{2} \ m \geq 3 \end{cases} )，此时无解。 综上，实数 ( m ) 的取值范围是 ( (2, +\infty) )。
（1）解：函数 ( f(x) ) 为奇函数。 证明：定义域为 ( R )，关于原点对称。 ( f(-x) = \frac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1} = \frac{\frac{1}{2^x} - 1}{\frac{1}{2^x} + 1} = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x} = -\frac{2^x - 1}{2^x + 1} = -f(x) )。 ( f(x) ) 为奇函数。 （2）证明：任取 ( x_1, x_2 \in R )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2^{x_1} - 1}{2^{x_1} + 1} - \frac{2^{x_2} - 1}{2^{x_2} + 1} = \frac{(2^{x_1} - 1)(2^{x_2} + 1) - (2^{x_2} - 1)(2^{x_1} + 1)}{(2^{x_1} + 1)(2^{x_2} + 1)} ) ( = \frac{2^{x_1+x_2} + 2^{x_1} - 2^{x_2} - 1 - (2^{x_1+x_2} - 2^{x_1} + 2^{x_2} - 1)}{(2^{x_1} + 1)(2^{x_2} + 1)} ) ( = \frac{2(2^{x_1} - 2^{x_2})}{(2^{x_1} + 1)(2^{x_2} + 1)} )。 因为 ( x_1 < x_2 )，( 2^{x_1} < 2^{x_2} )，即 ( 2^{x_1} - 2^{x_2} < 0 )。 又 ( (2^{x_1} + 1)(2^{x_2} + 1) > 0 )，( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。 ( f(x) ) 在 ( R ) 上是增函数。 （3）解：由（1）（2）知，( f(x) ) 是 ( R ) 上的奇函数且单调递增。 不等式 ( f(2x) > f(x-1) ) 等价于 ( f(2x) > f(x-1) )。 由单调性得 ( 2x > x - 1 )，解得 ( x > -1 )。 所以不等式的解集为 ( (-1, +\infty) )。
（1）解：当 ( 0 \leq x \leq 200 ) 时，利润 ( y = 300x - 100x - 20000 = 200x - 20000 )。 当 ( x > 200 ) 时，超出部分 ( (x-200) ) 台售价为 ( 300 \times 0.8 = 240 ) 元/台。 利润 ( y = 300 \times 200 + 240(x-200) - 100x - 20000 = 60000 + 240x - 48000 - 100x - 20000 = 140x - 8000 )。 综上，利润函数为： ( y = \begin{cases} 200x - 20000, & 0 \leq x \leq 200 \ 140x - 8000, & x > 200 \end{cases} ) （2）解：当 ( 0 \leq x \leq 200 ) 时， ( y = 200x - 20000 ) 是增函数，当 ( x = 200 ) 时， ( y_{\text{max}} = 200 \times 200 - 20000 = 20000 )（元）。 当 ( x > 200 ) 时， ( y = 140x - 8000 ) 是增函数，其最大值在定义域内无限增大，但需考虑实际意义（如市场容量），若题目隐含产量有上限，则需另算，此处按函数解析式，无限增大时利润也无限增大，但结合“产量超过200台时促销”的背景，通常意味着在某个有限产量时达到最大，若假设产量可以无限增加，则无最大利润，但更常见的处理是考虑定义域上限。若题目无其他限制，通常回答：因为两段函数都是增函数，且当 ( x=200 ) 时，第一段最大值为20000；当 ( x > 200 ) 时，利润 ( y = 140x - 8000 > 140*200 - 8000 = 20000 )，且随着 ( x ) 增大而增大，故理论上产量越大利润越大，但实际中产量受市场等因素限制，若按纯数学模型且无上限，则无最大利润。（此题为开放点，常见标准答案会给出一个上限，如“假设最多生产500台”，本题未给出，故指出其单调性即可）严谨的回答应为：函数在各自定义域区间内均为增函数，故无全局最大值，但若结合现实，产量应有上限。