（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
- 本试卷为电子版,答题时请按要求在相应位置作答。
- 答案请填写在指定的答题区域。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
与角 ( -1560^\circ ) 终边相同的最小正角是（ ） A. ( 120^\circ ) \quad B. ( 240^\circ ) \quad C. ( 300^\circ ) \quad D. ( 480^\circ )
已知点 ( P(\tan \alpha, \cos \alpha) ) 在第三象限，则角 ( \alpha ) 的终边在（ ） A. 第一象限 \quad B. 第二象限 \quad C. 第三象限 \quad D. 第四象限
已知 ( \sin(\pi + \alpha) = -\frac{1}{3} )，则 ( \cos(\alpha - 3\pi) ) 的值为（ ） A. ( \frac{1}{3} ) \quad B. ( -\frac{1}{3} ) \quad C. ( \frac{2\sqrt{2}}{3} ) \quad D. ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} )
要得到函数 ( y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) ) 的图象，只需将函数 ( y = \sin 2x ) 的图象（ ） A. 向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位 \quad B. 向右平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位 C. 向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 \quad D. 向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (-3, 4) )，则向量 ( \vec{a} ) 在向量 ( \vec{b} ) 方向上的投影向量为（ ） A. ( (\frac{1}{5}, -\frac{2}{5}) ) \quad B. ( (-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) ) \quad C. ( (1, 2) ) \quad D. ( (\frac{1}{2}, 1) )
已知 ( \vec{a}, \vec{b} ) 均为单位向量，其夹角为 ( 60^\circ )，则 ( |\vec{a} + 2\vec{b}| = )（ ） A. ( \sqrt{3} ) \quad B. ( \sqrt{5} ) \quad C. ( \sqrt{7} ) \quad D. ( 3 )
函数 ( y = 2\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) ) 的周期、振幅、初相分别是（ ） A. ( 4\pi, 2, \frac{\pi}{4} ) \quad B. ( 4\pi, -2, \frac{\pi}{4} ) \quad C. ( 2\pi, 2, \frac{\pi}{4} ) \quad D. ( 2\pi, -2, \frac{\pi}{4} )
已知 ( \sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{2} )，则 ( \sin 2\theta = )（ ） A. ( \frac{3}{4} ) \quad B. ( \frac{3}{8} ) \quad C. ( -\frac{3}{4} ) \quad D. ( -\frac{3}{8} )
在 ( \triangle ABC ) 中，若 ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} < 0 )，则 ( \triangle ABC ) 是（ ） A. 锐角三角形 \quad B. 直角三角形 \quad C. 钝角三角形 \quad D. 不能确定
函数 ( f(x) = \cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x ) 的最小正周期和最大值分别是（ ） A. ( \pi, 1 ) \quad B. ( \pi, 2 ) \quad C. ( 2\pi, 1 ) \quad D. ( 2\pi, 2 )
已知 ( \omega > 0 )，函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) ) 在 ( (\frac{\pi}{2}, \pi) ) 上单调递减，则 ( \omega ) 的取值范围是（ ） A. ( [\frac{1}{2}, \frac{5}{4}] ) \quad B. ( [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}] ) \quad C. ( (0, \frac{1}{2}] ) \quad D. ( (0, 2] )
在平面直角坐标系中,已知两点 ( A(\cos 80^\circ, \sin 80^\circ) )， ( B(\cos 20^\circ, \sin 20^\circ) )，则 ( |\overrightarrow{AB}| ) 的值为（ ） A. ( 1 ) \quad B. ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) \quad C. ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) \quad D. ( \frac{1}{2} )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知扇形的圆心角为 ( 2 ) 弧度，半径为 ( 3 \text{cm} )，则该扇形的面积为__( \text{cm}^2 )。
化简：( \frac{\sin(2\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)\sin(3\pi - \alpha)} = )__。
已知向量 ( \vec{a} = (3, -4) )， ( \vec{b} = (2, x) )，且 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( x = )__。
关于函数 ( f(x) = 4\sin(2x + \frac{\pi}{3}) ) (( x \in \mathbb{R} ))，有下列命题： ① 由 ( f(x_1) = f(x_2) = 0 ) 可得 ( x_1 - x_2 ) 必是 ( \frac{\pi}{2} ) 的整数倍； ② ( y = f(x) ) 的表达式可改写为 ( y = 4\cos(2x - \frac{\pi}{6}) )； ③ ( y = f(x) ) 的图象关于点 ( (-\frac{\pi}{6}, 0) ) 对称； ④ ( y = f(x) ) 的图象关于直线 ( x = -\frac{\pi}{6} ) 对称。 其中正确命题的序号是__。（把你认为正确的命题序号都填上）
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(4, -3) )。 （1）求 ( \sin \alpha )， ( \cos \alpha )， ( \tan \alpha ) 的值； （2）求 ( \frac{\sin(\pi - \alpha) + 2\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(3\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} ) 的值。
（12分）已知 ( \vec{a} = (1, 2) )， ( \vec{b} = (-3, 2) )。 （1）求 ( |\vec{a} + \vec{b}| ) 和 ( |\vec{a} - \vec{b}| )； （2）当 ( k ) 为何值时，向量 ( k\vec{a} + \vec{b} ) 与 ( \vec{a} - 3\vec{b} ) 平行？平行时它们是同向还是反向？
（12分）已知函数 ( f(x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x - \frac{1}{2} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（12分）在平面直角坐标系 ( xOy ) 中，已知向量 ( \vec{m} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) )， ( \vec{n} = (\sin x, \cos x) )， ( x \in (0, \frac{\pi}{2}) )。 （1）若 ( \vec{m} \perp \vec{n} )，求 ( \tan x ) 的值； （2）若 ( \vec{m} ) 与 ( \vec{n} ) 的夹角为 ( \frac{\pi}{3} )，求 ( x ) 的值。
（12分）已知 ( \triangle ABC ) 的三个内角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( (2b - c) \cos A = a \cos C )。 （1）求角 ( A ) 的大小； （2）若 ( a = \sqrt{3} )， ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \frac{\sqrt{3}}{2} )，求 ( b + c ) 的值。
（12分）已知函数 ( f(x) = \sin^2 \omega x + \sqrt{3} \sin \omega x \sin(\omega x + \frac{\pi}{2}) ) (( \omega > 0 )) 的最小正周期为 ( \pi )。 （1）求 ( \omega ) 的值； （2）将函数 ( y = f(x) ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ( \frac{1}{2} )（纵坐标不变），得到函数 ( y = g(x) ) 的图象，求函数 ( g(x) ) 在区间 ( [0, \frac{\pi}{12}] ) 上的最小值。
（试卷结束）
2025年高中数学必修四综合测试卷（电子版）参考答案及评分标准
选择题1-5: ABADC 6-10: CAACA 11-12: AA
填空题13. ( 9 ) 14. ( -\tan \alpha ) 15. ( \frac{3}{2} ) 16. ②③
解答题17. （10分） 解：（1）由题意 ( r = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5 )。 ( \sin \alpha = \frac{y}{r} = -\frac{3}{5} )， ( \cos \alpha = \frac{x}{r} = \frac{4}{5} )， ( \tan \alpha = \frac{y}{x} = -\frac{3}{4} )。（4分） （2）原式 = ( \frac{\sin \alpha - 2\sin \alpha}{-\cos \alpha + \cos \alpha} = \frac{-\sin \alpha}{0} ) 无意义，或计算得分母为0，故原式无意义。（6分）
（12分） 解：（1）( \vec{a} + \vec{b} = (-2, 4) )， ( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} )。 ( \vec{a} - \vec{b} = (4, 0) )， ( |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 )。（4分） （2）( k\vec{a} + \vec{b} = (k - 3, 2k + 2) )。 ( \vec{a} - 3\vec{b} = (1 - (-9), 2 - 6) = (10, -4) )。（2分） 因为 ( (k\vec{a} + \vec{b}) // (\vec{a} - 3\vec{b}) )， ( (k - 3) \times (-4) - (2k + 2) \times 10 = 0 )。（2分） 解得 ( k = -\frac{1}{3} )。（2分） ( k\vec{a} + \vec{b} = (-\frac{10}{3}, \frac{4}{3}) = -\frac{1}{3}(10, -4) = -\frac{1}{3}(\vec{a} - 3\vec{b}) )，故反向。（2分）
（12分） 解：( f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) )。（4分） （1）最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。（2分） 令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} )， 解得 ( -\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z} )。 所以单调递增区间为 ( [-\frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi], k \in \mathbb{Z} )。（2分） （2）当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时， ( 2x + \frac{\pi}{6} \in [\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] )， ( \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \in [-\frac{1}{2}, 1] )。 所以函数 ( f(x) ) 的值域为 ( [-\frac{1}{2}, 1] )。（4分）
（12分） 解：（1）因为 ( \vec{m} \perp \vec{n} )， ( \vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 0 )，即 ( \sin x = \cos x )。 又 ( x \in (0, \frac{\pi}{2}) )，( \tan x = 1 )。（6分） （2）因为 ( |\vec{m}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = 1 )， ( |\vec{n}| = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x} = 1 )。 ( \cos <\vec{m}, \vec{n}> = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x - \cos x) )。 由题意， ( \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x - \cos x) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} )， 即 ( \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} )。 ( \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} )，即 ( \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} )。 因为 ( x \in (0, \frac{\pi}{2}) )，( x - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) )， ( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} )，解得 ( x = \frac{5\pi}{12} )。（6分）
（12分） 解：（1）由正弦定理， ( (2\sin B - \sin C) \cos A = \sin A \cos C )。 整理得 ( 2\sin B \cos A = \sin A \cos C + \cos A \sin C = \sin(A + C) = \sin B )。 因为 ( \sin B > 0 )，( \cos A = \frac{1}{2} )。 又 ( A \in (0, \pi) )，( A = \frac{\pi}{3} )。（6分） （2）由面积公式 ( S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} )，得 ( bc = 2 )。 由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A )，得 ( 3 = b^2 + c^2 - bc )。 ( b^2 + c^2 = 3 + bc = 5 )。 ( (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 5 + 4 = 9 )。 又 ( b, c > 0 )，故 ( b + c = 3 )。（6分）
（12分） 解：（1）( f(x)