（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4, 5} )，则 ( A \cap (\complement_U B) = ) （ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {1, 3} ) \quad C. ( {1, 2} ) \quad D. ( {1, 2, 3} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) \quad D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
设 ( a, b \in \mathbb{R} )，则“ ( a^2 > b^2 ) ”是“ ( |a| > |b| ) ”的 （ ） A. 充分不必要条件 \quad B. 必要不充分条件 C. 充要条件 \quad D. 既不充分也不必要条件
函数 ( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{x-2} ) 的定义域为 （ ） A. ( [-1, 2) \cup (2, +\infty) ) \quad B. ( (-1, 2) \cup (2, +\infty) ) C. ( [-1, +\infty) ) \quad D. ( (-1, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = ) （ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{0.2} )， ( c = 0.2^{0.3} )，则三者的大小关系为 （ ） A. ( a > b > c ) \quad B. ( b > a > c ) \quad C. ( a > c > b ) \quad D. ( c > b > a )
函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} ) 的图象大致为 （ ） A. \quad B. \quad C. \quad D. （注：此处原为图片选项，描述应为：关于原点对称，呈“S”型增长，过(0,0)点的奇函数图象。）
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + 2 > 0 ) 的解集为 ( { x \mid -1 < x < 2 } )，则 ( a + b = ) （ ） A. -2 \quad B. -1 \quad C. 0 \quad D. 1
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列各组函数中,表示同一函数的是 （ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) D. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 )
已知正实数 ( a, b ) 满足 ( a + b = 4 )，则下列结论正确的是 （ ） A. ( ab ) 的最大值为 4 \quad B. ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值为 1 C. ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) 的最大值为 ( 2\sqrt{2} ) \quad D. ( a^2 + b^2 ) 的最小值为 8
德国数学家狄利克雷在1837年提出了著名的狄利克雷函数：( D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} )，( \mathbb{Q} ) 为有理数集，( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ) 为无理数集，下列关于狄利克雷函数 ( D(x) ) 的命题中，正确的是 （ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, \, D(D(x)) = 1 ) B. ( \forall x, y \in \mathbb{R}, \, D(x+y) = D(x) + D(y) ) C. 函数 ( D(x) ) 是偶函数 D. 函数 ( D(x) ) 是周期函数，且任何非零有理数都是它的周期
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = ) ________。
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = ) ________。
为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为 ( 2400m^2 ) 的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉禽水产类店面共80间，每间蔬菜水果类店面的面积为 ( 28m^2 )，月租费为 ( x ) 万元；每间肉禽水产类店面的面积为 ( 20m^2 )，月租费为 0.8 万元，全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%，为使市场月租费最高，则每间蔬菜水果类店面的月租费 ( x ) 应定为 ________ 万元。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（13分）已知集合 ( A = { x \mid -2 \leq x \leq 5 } )， ( B = { x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1 } )。 （1）若 ( m = 4 )，求 ( A \cup B )， ( (\complement_{\mathbb{R}} A) \cap B )； （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1} ) 是定义在 ( [-1, 1] ) 上的奇函数，且 ( f(\frac{1}{2}) = \frac{4}{5} )。 （1）求实数 ( a, b ) 的值； （2）判断并证明函数 ( f(x) ) 在 ( [-1, 1] ) 上的单调性； （3）解关于 ( t ) 的不等式 ( f(t-1) + f(t) < 0 )。
（15分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) (( a > 1 ))。 （1）若函数 ( f(x) ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上是减函数，求实数 ( a ) 的取值范围； （2）当 ( x \in [1, a+1] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的最小值 ( g(a) )； （3）在（2）的条件下，求函数 ( g(a) ) 的值域。
（17分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量，经测算，企业拟安装一种可使用5年的污水净化设备，设备的购置费为 ( p ) 万元，设备在使用过程中，每年的维护费为 ( \frac{p}{25} ) 万元，这种设备净化的污水量 ( W )（吨）与使用年限 ( x )（年）满足如下关系式：( W(x) = 10p(1-\frac{1}{2^{x+1}}) ) (( 1 \leq x \leq 5 ))，设备使用期间应交纳的使用费为 ( 2x ) 万元。 （1）求该企业使用该设备 ( x ) 年的年平均污水处理费用 ( y )（万元）； （2）为使该设备使用的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水净化设备？并求出这个最低费用（用含 ( p ) 的式子表示）。
（17分）对于函数 ( f(x) )，若存在实数 ( x_0 )，使得 ( f(x_0) = x_0 )，则称 ( x_0 ) 为函数 ( f(x) ) 的“不动点”。 （1）求函数 ( f(x) = 2^x + x - 4 ) 的“不动点”； （2）若函数 ( g(x) = \log_a (3^x - 2) ) (( a>0, a\neq1 )) 在区间 ( [0, 1] ) 上存在不动点，求实数 ( a ) 的取值范围； （3）设函数 ( h(x) = x^2 + bx + c )，若对于任意实数 ( b )，函数 ( h(x) ) 都有两个相异的不动点，求实数 ( c ) 的取值范围。
2025学年第一学期高一数学期中测试卷（参考答案及评分标准）
选择题
- A（解析：( \complement_U B = {1, 2} )，故 ( A \cap (\complement_U B) = {1} )）
- B（解析：全称量词命题的否定是特称量词命题，并否定结论）
- C（解析：( a^2 > b^2 \Leftrightarrow |a| > |b| )）
- A（解析：需满足 ( x+1 \geq 0 ) 且 ( x-2 \neq 0 )）
- D（解析：( f(0)=0^2+1=1 )，( f(f(0))=f(1)=1^2+1=2 )）
- A（解析：( a=2^{0.3}>2^0=1 )，( 0 < b=0.3^{0.2}<1 )，( 0 < c=0.2^{0.3}<1 )，且幂函数 ( y=x^{0.2} ) 在(0, +∞)递增，故 ( b > c )，( a > b > c )）
- C（解析：函数为奇函数，且在R上单调递增，当 ( x \to +\infty ) 时，( f(x) \to 1 )）
- A（解析：由解集形式知 ( a<0 )，且 -1和2是方程 ( ax^2+bx+2=0 ) 的两根，由韦达定理：( -1+2=-\frac{b}{a} )，( (-1)\times2=\frac{2}{a} )，解得 ( a=-1, b=1 )，故 ( a+b=-2 )）
多选题
- AD（解析：A定义域、对应关系相同；B定义域不同（( f(x) ) 定义域为 ( x \neq 1 )）；C定义域不同（( f(x) ) 定义域为R，( g(x) ) 定义域为 ( [0, +\infty) )）；D定义域相同（( x \neq 0 )）且对应关系相同）
- BD（解析：A. ( ab \leq (\frac{a+b}{2})^2 = 4 )，最大值为4，但取等时 ( a=b=2 )，成立，故A对；B. ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{4}{ab} \geq \frac{4}{4}=1 )，最小值为1，对；C. ( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} \leq 4+2\times2=8 )，故 ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq 2\sqrt{2} )，最大值为 ( 2\sqrt{2} )，对；D. ( a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}=8 )，最小值为8，对，故全选？题目问“正确的是”，A、B、C、D均正确，但请注意A中 ( ab ) 的最大值确实为4，表述正确，因此答案为ABCD。）
- ACD（解析：A. ( D(x) ) 值域为 {0, 1}，代入 ( D(D(x)) ) 恒为1，对；B. 取 ( x ) 为有理数，( y ) 为无理数，则 ( D(x+y)=0 )，而 ( D(x)+D(y)=1+0=1 )，不相等，错；C. 有理数的相反数仍为有理数，无理数的相反数仍为无理数，故 ( D(-x)=D(x) )，是偶函数，对；D. 对任意有理数 ( T )，若 ( x ) 为有理数，则 ( x+T ) 为有理数；若 ( x ) 为无理数，则 ( x+T ) 为无理数，故 ( D(x+T)=D(x) )，是周期函数，对。）
填空题
- 1（解析：由幂函数定义知 ( m^2-3m+3=1 )，解得 ( m=1 ) 或 ( m=2 )，当 ( m=1 ) 时，( f(x)=x^2 ) 为偶函数；当 ( m=2 ) 时，( f(x)=x^3 ) 为奇函数，故 ( m=1 )）
- ( -x^2 - 2x )（解析：设 ( x<0 )，则 ( -x>0 )，( f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x )，由奇函数性质 ( f(x)=-f(-x)=-x^2-2x )）
- 2（解析：设蔬菜水果类店面 ( a ) 间，则肉禽水产类店面 ( (80-a) ) 间，由面积限制：( 2400 \times 80\% \leq 28a + 20(80-a) \leq 2400 \times 85\% )，解得 ( 40 \leq a \leq 55 )，月租费总额 ( S = ax + 0.8(80-a) = 0.8a + 64 )，为使 ( S ) 最大，需 ( a ) 最大，故 ( a=55 )。( S_{\text{max}} = 0.8 \times 55 + 64 = 108 )（万元），由 ( 55x + 0.8 \times 25 = 108 )，解得 ( x = 1.2 ) 万元。）
解答题
（13分）（1）当 ( m=4 ) 时，( B={ x \mid 5 \leq x \leq 7 } )。……1分 ( A \cup B = { x \mid -2 \leq x \leq 7 } )。……3分 ( \complement{\mathbb{R}} A = { x \mid x < -2 \text{ 或 } x > 5 } )。……5分 ( (\complement{\mathbb{R}} A) \cap B = { x \mid 5 < x \leq 7 } )。……7分 （2）当 ( B = \varnothing ) 时，( m+1 > 2m-1 )，解得 ( m < 2 )，满足 ( B \subseteq A )。……9分 当 ( B \neq \varnothing ) 时，需满足 ( \begin{cases} m+1 \leq 2m-1 \ m+1 \geq -2 \ 2m-1 \leq 5 \end{cases} )，解得 ( 2 \leq m \leq 3 )。……12分 综上，实数 ( m ) 的取值范围是 ( { m \mid m \leq 3 } )。……13分
（15分）