（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4, 5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = )（ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {1, 3} ) \quad C. ( {1, 2} ) \quad D. ( {1, 2, 3} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad B. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( [2, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，则“ ( a > b ) ”是“ ( a^2 > b^2 ) ”的（ ） A. 充分不必要条件 \quad B. 必要不充分条件 C. 充要条件 \quad D. 既不充分也不必要条件
下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^3 ) \quad B. ( y = |x| + 1 ) \quad C. ( y = -x^2 + 1 ) \quad D. ( y = 2^{-x} )
已知 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x+3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(2)) = )（ ） A. 2 \quad B. 3 \quad C. 4 \quad D. 5
若 ( a = 2^{0.3} ), ( b = 0.3^{2} ), ( c = \log_{0.3} 2 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系是（ ） A. ( c < b < a ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( b < c < a ) \quad D. ( c < a < b )
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是（ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (1, 2) ) \quad C. ( (2, 3) ) \quad D. ( (3, 4) )
已知函数 ( f(x) = ax^3 + bx + 5 )，且 ( f(3) = 7 )，则 ( f(-3) = )（ ） A. -7 \quad B. 7 \quad C. 3 \quad D. -3
方程 ( \log_2 x + x = 2 ) 的实数解所在的区间是（ ） A. ( (0, 0.5) ) \quad B. ( (0.5, 1) ) \quad C. ( (1, 1.5) ) \quad D. ( (1.5, 2) )
某公司招聘员工，按学历、经验和工作态度三项进行评分，每项满分10分，总分高者优先，已知甲三项得分依次为 ( 8, 6, 7 )，乙三项得分依次为 ( 7, 8, x )，若甲的总分不低于乙，则 ( x ) 的最大值为（ ） A. 6 \quad B. 7 \quad C. 8 \quad D. 9
设奇函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，且 ( f(2) = 0 )，则不等式 ( \frac{f(x) - f(-x)}{x} < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) ) \quad B. ( (-2, 0) \cup (0, 2) ) C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) \quad D. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知集合 ( A = { x | ax^2 - 3x + 2 = 0 } ) 有且仅有两个子集，则实数 ( a ) 的值为__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - m - 1) x^{m^2 - 2m - 3} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，则 ( m = )__。
若正数 ( x, y ) 满足 ( x + y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} ) 的最小值为__。
已知函数 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 2 )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）的图象恒过定点 ( P )，则点 ( P ) 的坐标为__；若点 ( P ) 在函数 ( g(x) = b \cdot 3^x - 1 )（( b \in \mathbb{R} )）的图象上，则 ( b = )__。（第一空2分,第二空3分）
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )，( B = { x | 2 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( \complement_U (A \cap B) )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^x + a} ) 是奇函数。 （1）求实数 ( a, b ) 的值； （2）解关于 ( x ) 的不等式： ( f(2x - 1) + f(x) < 0 )。
（12分）近年来，某地积极推进垃圾分类，已知某小区2022年的垃圾处理量为 ( 2 ) 万吨，预计从2023年起，每年的垃圾处理量比上一年增长 ( 10\% )。 （1）请写出从2022年开始，该小区第 ( n ) 年的垃圾处理量 ( y )（万吨）与 ( n )（( n \in \mathbb{N}^* )）的函数关系式； （2）按照这个增长速度，预计到哪一年，该小区的年垃圾处理量将首次超过 ( 3 ) 万吨？ （参考数据： ( \lg 2 \approx 0.3010, \, \lg 11 \approx 1.0414, \, \lg 1.1 \approx 0.0414 )）
（12分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c )（( a \neq 0 )）满足 ( f(0) = 1 )，且不等式 ( f(x) > 2x ) 的解集为 ( (-1, 3) )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的解析式； （2）若函数 ( g(x) = f(x) - mx ) 在区间 ( [1, 3] ) 上单调，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_4 (4^x + 1) + kx )（( k \in \mathbb{R} )）是偶函数。 （1）求 ( k ) 的值； （2）若方程 ( f(x) = m ) 有实数根，求实数 ( m ) 的取值范围； （3）设 ( h(x) = \log_4 (a \cdot 2^x - \frac{4}{3}a) )，若函数 ( f(x) ) 与 ( h(x) ) 的图象有且只有一个公共点，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高一上学期数学必修一综合测试卷（人教版）参考答案
选择题
A \quad 2. C \quad 3. A \quad 4. D \quad 5. B \quad 6. A \quad 7. A \quad 8. B \quad 9. C \quad 10. C \quad 11. B \quad 12. D
填空题13. ( 0 ) 或 ( \frac{9}{8} ) \quad 14. ( 2 ) \quad 15. ( 9 ) \quad 16. ( (1, 2) )； ( 1 )
解答题17. （10分） 解：（1）( A \cup B = { x | 2 < x \leq 10 } )； ( A \cap B = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( \complement_U (A \cap B) = { x | x < 3 \text{ 或 } x \geq 7 } )。 （2）因为 ( B \cap C = \varnothing )，且 ( B = { x | 2 < x \leq 10 } )， ( C = { x | x > a } )，( a \geq 10 )，故 ( a ) 的取值范围是 ( [10, +\infty) )。
（12分） 解：（1）函数 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1 - 1}{x_1 + 1} - \frac{2x_2 - 1}{x_2 + 1} = \frac{(2x_1 - 1)(x_2 + 1) - (2x_2 - 1)(x_1 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} )。 因为 ( x_1, x_2 \geq 1 )，( x_1 + 1 > 0, x_2 + 1 > 0 )，又 ( x_1 < x_2 )，( x_1 - x_2 < 0 )。 故 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x2) )。( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。 （2）由（1）知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递增。( f(x){\text{min}} = f(2) = 1 )， ( f(x)_{\text{max}} = f(5) = \frac{3}{2} )。 故值域为 ( [1, \frac{3}{2}] )。
（12分） 解：（1）因为 ( f(x) ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，( f(0) = 0 )，即 ( \frac{b - 1}{1 + a} = 0 )，解得 ( b = 1 )。 又 ( f(-1) = -f(1) )，即 ( \frac{1 - 2^{-1}}{2^{-1} + a} = -\frac{1 - 2^1}{2^1 + a} )，解得 ( a = 1 )。 经检验，当 ( a = 1, b = 1 ) 时，( f(x) = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x} ) 是奇函数。 （2）由（1）得 ( f(x) = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x} = -1 + \frac{2}{1 + 2^x} )，易知 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减。 不等式 ( f(2x - 1) + f(x) < 0 ) 可化为 ( f(2x - 1) < -f(x) = f(-x) )。 因为 ( f(x) ) 单调递减，( 2x - 1 > -x )，解得 ( x > \frac{1}{3} )。 故不等式的解集为 ( (\frac{1}{3}, +\infty) )。
（12分） 解：（1）由题意，2022年（( n=1 )）垃圾处理量为 ( 2 ) 万吨，每年增长 ( 10\% )，即增长率为 ( 0.1 )。 所以第 ( n ) 年的垃圾处理量 ( y = 2 \times (1 + 0.1)^{n-1} = 2 \times 1.1^{n-1} )（( n \in \mathbb{N}^)）。 （2）设第 ( n ) 年垃圾处理量首次超过 ( 3 ) 万吨，则 ( 2 \times 1.1^{n-1} > 3 )。 即 ( 1.1^{n-1} > 1.5 )，两边取常用对数得：( (n-1) \lg 1.1 > \lg 1.5 = \lg \frac{3}{2} = \lg 3 - \lg 2 \approx 0.4771 - 0.3010 = 0.1761 )。 因为 ( \lg 1.1 \approx 0.0414 )，( n - 1 > \frac{0.1761}{0.0414} \approx 4.254 )，故 ( n > 5.254 )。 因为 ( n \in \mathbb{N}^)，( n = 6 )。 对应年份为 ( 2022 + (6-1) = 2027 ) 年。 答：预计到2027年，该小区的年垃圾处理量将首次超过 ( 3 ) 万吨。
（12分） 解：（1）由 ( f(0) = 1 ) 得 ( c = 1 )。 因为不等式 ( f(x) > 2x ) 即 ( ax^2 + (b-2)x + 1 > 0 ) 的解集为 ( (-1, 3) )， ( -1 ) 和 ( 3 ) 是方程 ( ax^2 + (b-2)x + 1 = 0 ) 的两根，且 ( a < 0 )。 由韦达定理得：( \begin{cases} -1 + 3 = -\frac{b-2}{a} \ (-1) \times 3 = \frac{1}{a} \end{cases} )。 解得 ( a = -\frac{1}{3} )， ( b = \frac{4}{3} )。 ( f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1 )。 （2）( g(x) = f(x) - mx = -\frac{1}{3}x^2 + (\frac{4}{3} - m)x + 1 )。 其对称轴为 ( x = \frac{4 - 3m}{2} )。 若 ( g(x) ) 在 ( [1, 3] ) 上单调，则对称轴不在区间 ( (1, 3) ) 内。 即 ( \frac{4 - 3m}{2} \leq 1 ) 或 ( \frac{4 - 3m}{2} \geq 3 )。 解得 ( m \geq \frac{2}{3} ) 或 ( m \leq -\frac{2}{3} )。 故实数 ( m ) 的取值范围是 ( (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3},