- 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 所有答案需写在答题卡指定区域，试卷上作答无效。
选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x + 3 \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( (-2, 1] )
B. ( [3, +\infty) )
C. ( (1, 3] )
D. ( (-2, 1] \cup [3, +\infty) )复数 ( z = \frac{2+i}{1-i} ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (-3, x) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( x = )（ ）
A. ( \frac{3}{2} )
B. ( -\frac{3}{2} )
C. ( 6 )
D. ( -6 )函数 ( f(x) = \ln(x+1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为（ ）
A. ( (-1, 4] )
B. ( [-1, 4] )
C. ( (-1, 4) )
D. ( [-1, 4) )在等差数列 ({ a_n }) 中，( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ）
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10已知角 ( \alpha ) 终边过点 ( P(3, -4) )，则 ( \sin \alpha + \cos \alpha = )（ ）
A. ( -\frac{1}{5} )
B. ( \frac{1}{5} )
C. ( -\frac{7}{5} )
D. ( \frac{7}{5} )若 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 6 )，( c = 0.8^{-0.5} )，则（ ）
A. ( a < b < c )
B. ( b < a < c )
C. ( c < b < a )
D. ( b < c < a )直线 ( l: 2x - y + 3 = 0 ) ( x ) 轴对称的直线方程为（ ）
A. ( 2x + y + 3 = 0 )
B. ( 2x + y - 3 = 0 )
C. ( 2x - y - 3 = 0 )
D. ( -2x - y + 3 = 0 )已知 ( m, n ) 是两条不同直线，( \alpha, \beta ) 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ( m \parallel \alpha )，( n \parallel \alpha )，则 ( m \parallel n )
B. 若 ( m \perp \alpha )，( n \perp \alpha )，则 ( m \parallel n )
C. 若 ( m \subset \alpha )，( n \subset \beta )，( \alpha \parallel \beta )，则 ( m \parallel n )
D. 若 ( \alpha \perp \beta )，( m \subset \alpha )，则 ( m \perp \beta )椭圆 ( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 ) 的离心率为（ ）
A. ( \frac{\sqrt{7}}{4} )
B. ( \frac{5}{4} )
C. ( \frac{3}{4} )
D. ( \frac{\sqrt{7}}{3} )若 ( x > 0 )，( y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为（ ）
A. ( 2 )
B. ( \frac{9}{4} )
C. ( 3 )
D. ( \frac{5}{2} )已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则 ( f\left( \frac{\pi}{3} \right) = )（ ）
（图略，描述：图象过 ( (0, \frac{1}{2}) )，最高点 ( (\frac{\pi}{6}, 1) )，周期 ( T = \pi )）
A. ( -\frac{1}{2} )
B. ( \frac{1}{2} )
C. ( -\frac{\sqrt{3}}{2} )
D. ( \frac{\sqrt{3}}{2} )
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + m > 0 ) ”的否定是____．
14. 二项式 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中常数项为____．
15. 已知 ( \triangle ABC ) 中，( a = 3 )，( b = 5 )，( \sin A = \frac{1}{3} )，则 ( \sin B = )____．
16. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases}
2^x - 1, & x \leq 1 \
-\log_2 (x-1), & x > 1
\end{cases} )，若 ( f(a) = 2 )，则实数 ( a = )____．
解答题（共6小题，共70分）
17. （10分）已知等比数列 ({ a_n }) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( a_3 = 4 )，( S_3 = 12 )．
（1）求数列 ({ a_n }) 的通项公式；
（2）若 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 ({ b_n }) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )．
（12分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A )．
（1）求角 ( A )；
（2）若 ( a = 2\sqrt{3} )，( \triangle ABC ) 的面积为 ( 3\sqrt{3} )，求周长．（12分）如图，四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( E ) 为 ( PD ) 中点．
（1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )；
（2）若 ( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，求二面角 ( E-AC-D ) 的正切值．（12分）某学校举行数学竞赛，初赛共10道题，每题10分，满分100分．学生甲答对每题的概率均为 ( \frac{3}{4} )，且各题答对与否相互独立．
（1）求甲初赛得分不低于80分的概率；
（2）若初赛得分前30%可进入决赛，已知全校学生初赛得分近似服从正态分布 ( N(65, 15^2) )，试估计进入决赛的最低分数（精确到整数）．
附：若 ( X \sim N(\mu, \sigma^2) )，则 ( P(\mu - \sigma < X \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827 )，( P(\mu - 2\sigma < X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 )．（12分）已知双曲线 ( C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的离心率为 ( 2 )，且过点 ( (2, 3) )．
（1）求双曲线 ( C ) 的方程；
（2）若直线 ( l: y = kx + 2 ) 与双曲线 ( C ) 交于 ( M, N ) 两点，且以 ( MN ) 为直径的圆过坐标原点 ( O )，求实数 ( k ) 的值．（12分）已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )（( a \in \mathbb{R} )）．
（1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
（2）若 ( f(x) \geq 0 ) 对 ( x \in [0, +\infty) ) 恒成立，求 ( a ) 的取值范围．
参考答案与评分标准
选择题
1-5：C D A A A
6-10：B D A B A
11-12：B C
填空题
13. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + m \leq 0 )
14. ( 160 )
15. ( \frac{5}{9} )
16. ( -1 ) 或 ( 5 )
解答题
17. （1）设公比为 ( q )，由 ( a_3 = 4 )，( S_3 = 12 ) 得
[ \begin{cases} a_1 q^2 = 4 \ a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 12 \end{cases} ]
解得 ( a_1 = 4, q = -1 ) 或 ( a_1 = 1, q = 2 )．
当 ( a_1 = 4, q = -1 ) 时，( a_n = 4 \cdot (-1)^{n-1} )；
当 ( a_1 = 1, q = 2 ) 时，( a_n = 2^{n-1} )．
（2）若 ( a_n = 4 \cdot (-1)^{n-1} )，则 ( b_n ) 无意义（真数需大于0），故舍去．
( a_n = 2^{n-1} )，( b_n = \log_2 2^{n-1} = n-1 )，
[ T_n = \frac{n(n-1)}{2}. ]
（1）由 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A ) 及余弦定理，得
[ b \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} + c \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = 2a \cos A, ]
化简得 ( a = 2a \cos A )，即 ( \cos A = \frac{1}{2} )，又 ( A \in (0, \pi) )，( A = \frac{\pi}{3} ).
（2）由 ( S = \frac{1}{2} bc \sin A = 3\sqrt{3} ) 得 ( bc = 12 ).
由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A )，代入得 ( 12 = b^2 + c^2 - 12 )，
( b^2 + c^2 = 24 )，则 ( (b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 48 )，故 ( b+c = 4\sqrt{3} )，
周长为 ( a+b+c = 6\sqrt{3} ).（1）连接 ( BD ) 交 ( AC ) 于 ( O )，连接 ( OE )．
因为 ( ABCD ) 为矩形，( O ) 为 ( BD ) 中点，又 ( E ) 为 ( PD ) 中点，
( OE \parallel PB )，又 ( OE \subset ) 平面 ( AEC )，( PB \not\subset ) 平面 ( AEC )，
故 ( PB \parallel ) 平面 ( AEC ).
（2）以 ( A ) 为原点，( AB, AD, AP ) 为坐标轴建立空间直角坐标系，
则 ( A(0,0,0), C(1,2,0), E(0,1,1) )，
平面 ( ACD ) 法向量为 ( \vec{AP} = (0,0,2) )，
平面 ( ACE ) 法向量为 ( \vec{n} = (2,-1,1) )，
设二面角 ( E-AC-D ) 的平面角为 ( \theta )，则
[ \cos \theta = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AP}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}, ]
故 ( \tan \theta = \sqrt{5} ).（1）设甲答对题数为 ( X )，则 ( X \sim B(10, \frac{3}{4}) )，
得分不低于80分即 ( X \geq 8 )，
[ P = C{10}^8 \left( \frac{3}{4} \right)^8 \left( \frac{1}{4} \right)^2 + C{10}^9 \left( \frac{3}{4} \right)^9 \left( \frac{1}{4} \right) + C_{10}^{10} \left( \frac{3}{4} \right)^{10} \approx 0.5256. ]
（2）设最低分为 ( x_0 )，则 ( P(X \geq x_0) = 0.3 )，
由对称性 ( P(X \leq \mu) = 0.5 )，故 ( P(\mu \leq X < x_0) = 0.2 )，
又 ( P(\mu \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0.34135 )，
因为 ( 0.2 < 0.34135 )，( x_0 < \mu+\sigma = 80 )，
设 ( x_0 = \mu + k\sigma )，则 ( P(\mu \leq X \leq \mu+k\sigma) = 0.2 )，
查表得 ( k \approx 0.524 )，故 ( x_0 \approx 65 + 0.524 \times 15 \approx 73 ).（1）由 ( e = \frac{c}{a} = 2 ) 得 ( c = 2a )，又 ( c^2 = a^2 + b^2 )，( b^2 = 3a^2 )，
代入点 ( (2,3) ) 得 ( \frac{4}{a^2} - \frac{9}{3a^2} = 1 )，解得 ( a^2 = 1 )，( b^2 = 3 )，
故双曲线方程为 ( x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 ).
（2）联立
[ \begin{cases} y = kx + 2 \ x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} ]
得 ( (3-k^2)x^2 - 4kx - 7 = 0 )，
由 ( \Delta > 0 ) 得 ( k^2 < 7 ) 且 ( k^2 \neq 3 )，
设 ( M(x_1,y_1), N(x_2,y_2) )，则
[ x_1 + x_2 = \frac{4k}{3-k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-7}{3-k^2}. ]
因为以 ( MN ) 为直径的圆过原点，( \vec{OM} \cdot \vec{ON} = 0 )，
即 ( x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 )，代入 ( y_i = kx_i + 2 ) 得
[ (1+k^2)x_1 x_2 + 2k(x_1+x_2) + 4 = 0, ]
解得 ( k^2 = \frac{5}{2} )，故 ( k = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} ).（1）( f