（本试卷参考高中必修二数学课本知识内容编制）
选择题（共8题，每题5分，共40分）
在空间直角坐标系中,点 ( P(-3, 4, 5) ) ( xOy ) 平面的对称点坐标是（ ）
A. ( (3, -4, 5) )
B. ( (-3, 4, -5) )
C. ( (3, 4, 5) )
D. ( (-3, -4, 5) )已知直线 ( l_1: 2x - y + 1 = 0 ) 与直线 ( l_2: x + ky - 3 = 0 ) 垂直，则实数 ( k ) 的值为（ ）
A. 2
B. -2
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{1}{2} )已知圆的方程为 ( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 )，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ( (2, -1), 3 )
B. ( (-2, 1), 3 )
C. ( (2, -1), 9 )
D. ( (-2, 1), 9 )已知 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \cos \alpha = )（ ）
A. ( \frac{4}{5} )
B. ( -\frac{4}{5} )
C. ( \frac{3}{4} )
D. ( -\frac{3}{4} )已知直线 ( l ) 的倾斜角为 ( 60^\circ )，且过点 ( (0, 2) )，则直线 ( l ) 的方程是（ ）
A. ( y = \sqrt{3}x + 2 )
B. ( y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2 )
C. ( y = \sqrt{3}x - 2 )
D. ( y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2 )已知 ( \triangle ABC ) 中，( a = 4, b = 5, \angle C = 60^\circ )，则边 ( c ) 的长度为（ ）
A. ( \sqrt{21} )
B. ( \sqrt{31} )
C. ( \sqrt{41} )
D. ( \sqrt{51} )已知正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 的棱长为 2，则异面直线 ( A_1B ) 与 ( B_1C ) 所成角的大小为（ ）
A. ( 30^\circ )
B. ( 45^\circ )
C. ( 60^\circ )
D. ( 90^\circ )已知点 ( A(1, 2) )，( B(3, 1) )，则以线段 ( AB ) 为直径的圆的方程是（ ）
A. ( (x-2)^2 + (y-1.5)^2 = 1.25 )
B. ( (x-2)^2 + (y-1.5)^2 = 5 )
C. ( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1.25 )
D. ( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5 )
填空题（共4题，每题5分，共20分）
已知向量 ( \vec{a} = (2, -1) )，( \vec{b} = (m, 3) )，且 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( m = )__。
已知 ( \sin(\pi - \alpha) = \frac{1}{3} )，则 ( \sin \alpha = )__。
已知正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 6，则该正四棱锥的高为__。
过点 ( P(1, 2) ) 且与直线 ( 3x - 4y + 5 = 0 ) 平行的直线方程为__。
解答题（共4题，每题10分，共40分）
已知 ( \triangle ABC ) 的三个顶点分别为 ( A(1, 2) )，( B(3, 4) )，( C(5, 0) )。
（1）求边 ( AB ) 所在直线的方程；
（2）求 ( \triangle ABC ) 的面积。已知函数 ( f(x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^2 x )。
（1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期；
（2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上的最大值和最小值。如图,在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是正方形，( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，且 ( PA = AB = 2 )。
（1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
（2）求四棱锥 ( P-ABCD ) 的体积。已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 )。
（1）求圆 ( C ) 的标准方程，并写出圆心坐标和半径；
（2）若直线 ( l: y = kx + 2 ) 与圆 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，求实数 ( k ) 的值。
2025年高中必修二数学综合测试卷（带答案）
选择题答案
- B
- A
- A
- B
- A
- A
- C
- A
填空题答案9. ( \frac{3}{2} )
10. ( \frac{1}{3} )
11. ( 2\sqrt{7} )
12. ( 3x - 4y + 5 = 0 )
解答题答案13.
（1）由两点式得直线 ( AB ) 方程：( \frac{y-2}{4-2} = \frac{x-1}{3-1} )，化简得 ( y = x + 1 )。
（2）由顶点坐标，可利用向量法或面积公式。
方法一：( \overrightarrow{AB} = (2, 2), \overrightarrow{AC} = (4, -2) )，
则 ( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |2 \times (-2) - 2 \times 4| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 )。
（1）( f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x + \sqrt{3} \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} )，
最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。
（2）当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}] )，
当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} ) 即 ( x = \frac{\pi}{12} ) 时，( f(x){\text{max}} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} )；
当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} ) 即 ( x = \frac{\pi}{2} ) 时，( f(x){\text{min}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 )。（1）证明：∵ ( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，( BD \subset ) 底面 ( ABCD )，∴ ( PA \perp BD )。
又底面 ( ABCD ) 是正方形，∴ ( AC \perp BD )。
而 ( PA \cap AC = A )，∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )。
（2）体积 ( V = \frac{1}{3} \times S_{\text{底}} \times PA = \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 2 = \frac{8}{3} )。（1）圆方程化为标准式：( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4 )，圆心 ( C(2, 3) )，半径 ( r = 2 )。
（2）圆心 ( C(2, 3) ) 到直线 ( l: kx - y + 2 = 0 ) 的距离 ( d = \frac{|2k - 3 + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|2k - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} )。
由弦长公式 ( |AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{3} )，得 ( \sqrt{4 - d^2} = \sqrt{3} )，即 ( d^2 = 1 )。
( \frac{(2k-1)^2}{k^2+1} = 1 )，解得 ( k = 0 ) 或 ( k = \frac{4}{3} )。
试卷说明：本试卷严格依据《高中必修二数学》课本（电子版或纸质版）的核心知识点（直线与方程、圆与方程、空间几何体、点线面位置关系、三角函数、平面向量等）进行命题，旨在考查学生对基础知识的掌握和综合运用能力。