- 本试卷共四大题，满分150分,考试时间120分钟。
- 答题前,请确认您参考的是现行人教版高中数学必修一电子版教材内容。
- 所有答案需写在答题卡上,写在试卷上无效。
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
（集合概念）已知集合 ( U = {x \in \mathbb{N}^* | x \leq 6 } )，( A = {1, 2, 3} )，( B = {2, 4, 5} )，则 ( \complement_U (A \cup B) = )（ ） A. ( {6} ) B. ( {4, 5, 6} ) C. ( {0, 6} ) D. ( {1, 3, 6} )
（充分必要条件）设 ( x \in \mathbb{R} )，则“ ( x > 2 ) ”是“ ( x^2 > 4 ) ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（基本不等式）已知 ( a > 0, b > 0 )，且 ( a + b = 4 )，则 ( ab ) 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
（函数定义域）函数 ( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3} ) 的定义域为（ ） A. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) ) B. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( [1, +\infty) ) D. ( (1, +\infty) )
（函数解析式）已知 ( f(x+1) = x^2 - 2x )，则 ( f(x) = )（ ） A. ( x^2 - 4x + 3 ) B. ( x^2 - 2x + 1 ) C. ( x^2 - 4x + 1 ) D. ( x^2 - 2x )
（指数运算）化简 ( \left( 2a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}} \right) \left( -6a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}} \right) \div \left( -3a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}} \right) ) 的结果为（ ） A. ( 4a ) B. ( 4ab ) C. ( -4a ) D. ( -4ab )
（对数函数）函数 ( y = \log_a (2x-1) + 2 \ (a>0, a\neq1) ) 的图象恒过定点 ( P )，则点 ( P ) 的坐标为（ ） A. ( (1, 2) ) B. ( (1, 3) ) C. ( (\frac{1}{2}, 2) ) D. ( (1, 1) )
（函数模型）某种商品进货价为每件80元，若售价定为每件100元，可卖出200件，如果每涨价1元，销售量就减少10件，为了获得最大利润，售价应定为（ ） A. 105元 B. 110元 C. 115元 D. 120元
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列命题中，是真命题的有（ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 1 > 0 ) B. 存在一个四边形，它的对角线不相等 C. 命题“若 ( x^2=1 )，则 ( x=1 )”的否命题是“若 ( x^2 \neq 1 )，则 ( x \neq 1 )” D. 函数 ( y = |x| ) 与 ( y = \sqrt{x^2} ) 是同一个函数
关于函数 ( f(x) = |x-1| + |x+2| )，下列结论正确的是（ ） A. 图象关于直线 ( x = -\frac{1}{2} ) 对称 B. 值域为 ( [3, +\infty) ) C. 在区间 ( (-\infty, -2] ) 上是减函数 D. 方程 ( f(x) = 5 ) 有两个不相等的实数根
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x, & x \geq 2 \ \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1, & x < 2 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的减函数，则实数 ( a ) 的取值可以是（ ） A. ( \frac{1}{2} ) B. ( \frac{3}{2} ) C. ( 2 ) D. ( \frac{5}{2} )
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知集合 ( A = {1, 2, m} )，( B = {1, m} )，且 ( A \cup B = A )，则实数 ( m = )__。
已知 ( 2^a = 5^b = 10 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = )__。
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = )__；不等式 ( f(x) > 0 ) 的解集为__。（第一空2分,第二空3分）
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分） 已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = {x | 3 \leq x < 7} )，( B = {x | 4 < x \leq 10} )。 （1）求 ( A \cap B )，( \complement_U (A \cup B) )； （2）若集合 ( C = {x | x > a} )，且 ( B \cap C = B )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分） 已知函数 ( f(x) = \frac{x}{x^2+1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的最大值和最小值。
（15分） 求解下列方程或不等式： （1）( 4^x - 2^{x+2} - 3 = 0 )； （2）( \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 3x) > -2 )。
（17分） 近年来，“共享单车”为市民的绿色出行提供了便利，某公司计划在A、B两座城市共投资240万元投放单车，在A城市每辆单车的成本为400元，年租金收入为500元；在B城市每辆单车的成本为300元，年租金收入为400元，公司规定：在A城市投放的单车数量至少是B城市投放数量的2倍。 问：如何在A、B两座城市分配投资，才能使年利润最大？最大年利润是多少？（注：年利润 = 年租金总收入 - 总成本）
（17分） 已知函数 ( f(x) = \log_3 (9^x + 1) - x )。 （1）证明：函数 ( f(x) ) 是偶函数； （2）设函数 ( g(x) = \log_3 (a \cdot 3^x - \frac{4}{3}a) )，若函数 ( f(x) ) 与 ( g(x) ) 的图象有且只有一个公共点，求实数 ( a ) 的取值范围。
（试卷结束）
2025年高中数学必修一综合测试卷（电子版教材参考）参考答案及评分标准
单项选择题
A 2. A 3. B 4. A 5. A 6. A 7. A 8. C
多项选择题9. ABD 10. AB 11. AB
填空题12. 0 或 2 （注：需满足集合互异性，m不能等于1） 13. 1 14. ( -x^2 - 2x )；( (-\infty, -2) \cup (0, 2) )
解答题15. （13分） （1）( A \cap B = {x | 4 < x < 7} ) …………（3分） ( A \cup B = {x | 3 \leq x \leq 10} ) …………（2分） ( \complement_U (A \cup B) = {x | x < 3 \ 或 \ x > 10} ) …………（2分） （2）∵ ( B \cap C = B ) ∴ ( B \subseteq C ) …………（2分） 又 ( C = {x | x > a} )，( B = {x | 4 < x \leq 10} ) ∴ ( a \leq 4 ) …………（3分） 故实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 4] )。 …………（1分）
（15分） （1）函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上单调递减。 …………（2分） 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2+1} - \frac{x_2}{x_2^2+1} = \frac{(x_1x_2-1)(x_2-x_1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} ) …………（4分） ∵ ( 1 \leq x_1 < x_2 )，∴ ( x_2 - x_1 > 0 )，( x_1x_2 > 1 )，即 ( x_1x_2 - 1 > 0 )。 又 ( (x_1^2+1)(x_2^2+1) > 0 )， ∴ ( f(x_1) - f(x_2) > 0 )，即 ( f(x_1) > f(x2) )。 故函数 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递减。 …………（2分） （2）由（1）知，( f(x) ) 在 ( [1, 3] ) 上单调递减。 …………（2分） ∴ 当 ( x = 1 ) 时，( f(x){\text{max}} = f(1) = \frac{1}{2} ) …………（2分） 当 ( x = 3 ) 时，( f(x)_{\text{min}} = f(3) = \frac{3}{10} ) …………（2分）
（15分） （1）令 ( t = 2^x \ (t > 0) )，则原方程化为 ( t^2 - 4t - 3 = 0 ) …………（2分） 解得 ( t = 2 + \sqrt{7} ) 或 ( t = 2 - \sqrt{7} )（舍去） …………（2分） 即 ( 2^x = 2 + \sqrt{7} )，∴ ( x = \log_2 (2 + \sqrt{7}) ) …………（2分） 故原方程的解为 ( x = \log2 (2 + \sqrt{7}) )。 …………（1分） （2）原不等式可化为 ( \log{\frac{1}{2}} (x^2 - 3x) > \log{\frac{1}{2}} 4 ) …………（2分） ∵ 底数 ( 0 < \frac{1}{2} < 1 )，∴ ( y = \log{\frac{1}{2}} x ) 是减函数。 故原不等式等价于： ( \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \ x^2 - 3x < 4 \end{cases} ) …………（2分） 即 ( \begin{cases} x(x-3) > 0 \ x^2 - 3x - 4 < 0 \end{cases} ) ⇒ ( \begin{cases} x < 0 \ 或 \ x > 3 \ -1 < x < 4 \end{cases} ) …………（2分） 解得 ( -1 < x < 0 ) 或 ( 3 < x < 4 )。 故原不等式的解集为 ( { x | -1 < x < 0 \ 或 \ 3 < x < 4 } )。 …………（2分）
（17分） 设在B城市投资 ( x ) 万元，则在A城市投资 ( (240 - x) ) 万元。 设在B城市投放单车 ( a ) 辆，在A城市投放单车 ( b ) 辆。 则 ( 0.03a = x )，( 0.04b = 240 - x )（单位：万元） …………（2分） 即 ( a = \frac{100x}{3} )，( b = 6000 - 25x )。 由题意，( b \geq 2a )，即 ( 6000 - 25x \geq \frac{200x}{3} ) …………（3分） 解得 ( x \leq \frac{3600}{31} \approx 116.13 )。 …………（2分） 又 ( x \geq 0 )，且 ( a, b ) 为正整数，故 ( x ) 为3的倍数。 设年利润为 ( y ) 万元。 则 ( y = (0.04a + 0.05b) - 240 ) …………（3分） ( = 0.04 \times \frac{100x}{3} + 0.05 \times (6000 - 25x) - 240 ) ( = \frac{4x}{3} + 300 - 1.25x - 240 ) ( = 60 + \frac{1}{12}x ) …………（3分） ∵ ( \frac{1}{12} > 0 )，∴ ( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。 又 ( x \leq \frac{3600}{31} )，且 ( x ) 为3的倍数， ∴ 当 ( x = 114 )（万元）时，( y_{\text{max}} = 60 + \frac{114}{12} = 69.5 )（万元）。 …………（3分） 在B城市投资114万元，在A城市投资126万元。 答：在A城市投资126万元，B城市投资114万元时，年利润最大，为69.5万元。…（1分）
（17分） （1）证明：函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，关于原点对称。 …………（1分） ( f(-x) = \log_3 (9^{-x} + 1) + x = \log_3 \left( \frac{1+9^x}{9^x} \right) + x ) ( = \log_3 (1+9^x) - \log_3 9^x + x ) ( = \log_3 (9^x+1) - 2x + x ) ( = \log_3 (9^x+1) - x = f(x) ) …………（4分） ∴ ( f(x) ) 是偶函数。 …………（1分） （2）由题意，方程 ( \log_3 (9^x+1) - x = \log_3 (a \cdot 3^x - \frac{4}{3}a) ) 有且只有一个实数解。…（1分） 即 ( \log_3 \frac{9^x+1}{3^x} = \log_3 (a \cdot 3^x - \frac{4}{3}a) ) …………（2分） ∴ ( 3^x + 3^{-x} = a \cdot 3^x - \frac{4}{3}a ) 有唯一解。 …………（1分） 令 ( t = 3^x > 0 )，则方程化为 ( t + \frac{1}{t} = at - \frac{4}{3}a )， …………（1分） 整理得 ( (a-1)t^2 - \frac{4