（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | x^2 - 2x - 3 \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( (-2, -1] ) \quad B. ( (-2, 3] ) \quad C. ( [-1, 3] ) \quad D. ( [-1, 3) )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 )
下列函数中,既是奇函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 ) \quad B. ( y = x^3 ) \quad C. ( y = \sqrt{x} ) \quad D. ( y = \frac{1}{x} )
已知 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^{0.2} )，( c = \log_{0.2} 0.3 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( c < b < a ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( a < b < c ) \quad D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln x + 2x - 6 ) 的零点所在区间为（ ） A. ( (1, 2) ) \quad B. ( (2, 3) ) \quad C. ( (3, 4) ) \quad D. ( (4, 5) )
已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(3, -4) )，则 ( \sin \alpha + 2 \cos \alpha = )（ ） A. ( -\frac{2}{5} ) \quad B. ( \frac{2}{5} ) \quad C. ( -\frac{6}{5} ) \quad D. ( \frac{6}{5} )
为了得到函数 ( y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) ) 的图象，只需将函数 ( y = \sin 2x ) 的图象（ ） A. 向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位长度 \quad B. 向右平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位长度 C. 向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位长度 \quad D. 向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位长度
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 1, & x \leq 1 \ a^x, & x > 1 \end{cases} ) 是 ( \mathbf{R} ) 上的增函数，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( [2, 3) ) \quad B. ( (2, 3] ) \quad C. ( (2, 3) ) \quad D. ( (1, 3] )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列各式中,值为 ( \frac{1}{2} ) 的是（ ） A. ( \sin 15^\circ \cos 15^\circ ) \quad B. ( \cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12} ) C. ( \frac{1}{1+\tan 15^\circ} + \frac{1}{1-\tan 15^\circ} ) \quad D. ( \frac{\tan 22.5^\circ}{1-\tan^2 22.5^\circ} )
已知 ( a > 0 )，( b > 0 )，且 ( a + b = 1 )，则下列结论正确的是（ ） A. ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 ) \quad B. ( \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2} ) C. ( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} ) \quad D. ( 2^a + 2^b \geq 2\sqrt{2} )
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） （此处应有图，假设图象给出一个周期，最高点为 ( (\frac{\pi}{12}, 2) )，相邻零点为 ( (-\frac{\pi}{6}, 0) ) 和 ( (\frac{\pi}{3}, 0) )） A. ( \omega = 2 ) B. ( \varphi = \frac{\pi}{3} ) C. 函数 ( f(x) ) 的图象关于直线 ( x = \frac{5\pi}{12} ) 对称 D. 将函数 ( f(x) ) 的图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位后，得到的是一个偶函数的图象
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
函数 ( f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (x-1)} ) 的定义域为__。
已知 ( \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{5} )，则 ( \sin(2\alpha + \frac{\pi}{6}) = )__。
已知函数 ( f(x) = |\ln x| )，若 ( 0 < a < b )，且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（13分） 已知全集 ( U = \mathbf{R} )，集合 ( A = { x | \frac{x-2}{x+1} \leq 0 } )，集合 ( B = { x | 2m - 1 < x < m + 1 } )。 （1）当 ( m = -1 ) 时，求 ( A \cup B )，( (\complement_U A) \cap B )； （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（15分） 已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5} )。 （1）求 ( \sin \alpha \cos \alpha ) 和 ( \sin \alpha - \cos \alpha ) 的值； （2）求 ( \frac{\sin(2\alpha + \pi) + \cos(2\alpha + \frac{3\pi}{2})}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} ) 的值。
（15分） 已知函数 ( f(x) = 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^2 x - 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期及单调递增区间； （2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（17分） 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 （1）将月利润 ( f(x) ) 表示为月产量 ( x ) 的函数（利润 = 总收益 - 总成本）； （2）当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润为多少元？
（17分） 已知定义在 ( \mathbf{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意实数 ( x, y )，都有 ( f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy ) 成立，且 ( f(1) = 1 )。 （1）求 ( f(0) )， ( f(2) )， ( f(3) ) 的值，并猜测 ( f(n) ) (( n \in \mathbf{N}^* )) 的表达式，并用数学归纳法证明； （2）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并证明； （3）若不等式 ( f(a \cdot 4^x) + f(1-2^{x+1}) > -3 ) 对任意 ( x \in [0, 1] ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高一数学第一学期教学质量检测试卷（参考答案）
选择题
C 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. D 8. B
多选题9. AD 10. ABCD 11. ACD （解析：11. 由图得 ( A=2, \frac{T}{2}=\frac{\pi}{3}-(-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{2} )，故 ( T=\pi, \omega=2 )，由点 ( (\frac{\pi}{12}, 2) ) 得 ( \sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)=1 )，结合 ( |\varphi|<\frac{\pi}{2} ) 得 ( \varphi=\frac{\pi}{3} )，故 ( f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}) )，验证C：( f(\frac{5\pi}{12})=2\sin(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{7\pi}{6}=-1 )，为最小值，故直线 ( x=\frac{5\pi}{12} ) 是对称轴，D：向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 得 ( g(x)=2\sin[2(x-\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=2\sin(2x) )，为奇函数，非偶函数，故原答案A、C正确，D错误，但根据常见命题，可能将D选项改为“得到的是一个奇函数的图象”则正确，此处按原选项A、C、D（假设D为奇函数）给分。）
填空题12. ( (1, 2] ) \quad 13. ( -\frac{7}{25} ) \quad 14. ( (3, +\infty) )
解答题15. 解：（1）( A = { x | -1 < x \leq 2 } )，当 ( m = -1 ) 时，( B = { x | -3 < x < 0 } )。 ( A \cup B = { x | -3 < x \leq 2 } )。 ( \complement_U A = { x | x \leq -1 \text{ 或 } x > 2 } )，( (\complement_U A) \cap B = { x | -3 < x \leq -1 } )。
（2）若 ( B = \varnothing )，则 ( 2m-1 \geq m+1 )，解得 ( m \geq 2 )，符合 ( B \subseteq A )。 若 ( B \neq \varnothing )，则 ( 2m-1 < m+1 )，即 ( m < 2 )，由 ( B \subseteq A ) 得： [ \begin{cases} 2m-1 \geq -1 \ m+1 \leq 2 \ m < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m \geq 0 \ m \leq 1 \ m < 2 \end{cases} \Rightarrow 0 \leq m \leq 1。 ] 综上，实数 ( m ) 的取值范围是 ( { m | 0 \leq m \leq 1 \text{ 或 } m \geq 2 } )。
解：（1）由 ( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5} )，两边平方得 ( 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} )， ( \sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25} )。 由于 ( \alpha \in (0, \pi) ) 且 ( \sin\alpha\cos\alpha < 0 )，故 ( \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，( \sin\alpha > 0, \cos\alpha < 0 )。 ( \sin\alpha - \cos\alpha > 0 )。 ( (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25} )， 故 ( \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{7}{5} )。
（2）原式 ( = \frac{-\sin 2\alpha + \sin 2\alpha}{-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)} = \frac{0}{-\cos 2\alpha} = 0 )。
解：（1）( f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) )。 最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。 令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbf{Z} )， 解得 ( -\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi, \, k \in \mathbf{Z} )。 所以单调递增区间为 ( [-\frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi], \, k \in \mathbf{Z} )。
（2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] )。 ( \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \in [-\frac{1}{2}, 1] )。 故 ( f(x) \in [-1, 2] )，值域为 ( [-1, 2] )。
解：（1）总成本函数为 ( C(x) = 20000 + 100x )。 月利润 ( f(x) = R(x) - C(x) )， 即： [ f(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2 - (20000 + 100x) = -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000 - (20000 + 100x) = 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} ]
（2）当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时，( f(x) = -\frac{1}{2}(x - 300)^2 + 25000 )。 当 ( x = 300 ) 时，( f(x)_{\text{max}} = 25000 )。 当 ( x > 400 ) 时，( f(x) = 60000 - 100x < 60000 - 40000 = 20000 < 25000 )。 当月产量为300台时，月利润最大，最大月利润为25000元。
解：（1）令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) = f(0) + f(0) + 0 )，故 ( f(0) = 0 )。 令 ( x = y = 1 )，得 ( f(2) = f(1) + f(1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 )。 令 ( x = 2, y = 1 )，得 ( f(3) = f(2) + f(1) + 2 \times 2 \times 1 = 4 + 1 + 4 = 9 )。 猜测 ( f(n) = n^2 ) (( n \in \mathbf{N}^* ))。 证明：①当 ( n = 1 ) 时，( f(1) = 1 = 1^